1 + 1 4 + 1.3 4.8 + 1.3.5 4.8.12 + ........... = - Vidyadip

Question

$1 + \frac{1}{4} + \frac{{1.3}}{{4.8}} + \frac{{1.3.5}}{{4.8.12}} + ........... = $

✓

Answer

a
माना कि दी हुई श्रेणी ${(1 + x)^n}$ के प्रसार के समरूप है

अर्थात् $1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2\,!}}{x^2} + ....;\,|x|\, < \,1$ तब $nx = \frac{1}{4}$

तथा $\frac{{n(n - 1)}}{2}{x^2} = \frac{1}{4}\,.\,\frac{3}{8} = \frac{3}{{32}}$ दोनों समीकरणों को $n$ और $x$ के लिए हल करने पर

$x = - \frac{1}{2}$ तथा $n = - \frac{1}{2}$.

$\therefore$ दी हुई श्रेणी का योग

= ${(1 + x)^n} = {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^{ - 1/2}} = {2^{1/2}} = \sqrt {2.} $

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