Question
AB = BC ...........$\square$
∴ ∠BAC = $\square$
∴ AB = BC = $=\square \times A C$
$=\square \times \sqrt{8}$
$=\square \times 2 \sqrt{2}$
$=\square$
AB = BC ...........$\square$
∴ ∠BAC = $\square$
∴ AB = BC = $=\square \times A C$
$=\square \times \sqrt{8}$
$=\square \times 2 \sqrt{2}$
$=\square$
✓
Answer
AB = BC .....[पक्ष]
∴ ∠BAC = ∠BCA ....[समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]
समजा, ∠BAC = ∠BCA = x .....(i)
ΔABC मध्ये,
∠A + ∠B + ∠C = 180° ........[त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते.]
∴ x + 90° + x = 180° .....[(i) वरून]
∴ 2x = 90°
$\therefore x=\frac{90^{\circ}}{2}$.....[(i) वरून]
∴ x = 45°
∴ ∠BAC = ∠BCA = 45°
∴ ΔABC हा 45° - 45° - 90° त्रिकोण आहे.$\therefore A B=B C=\frac{1}{\sqrt{2}} \times A C$...[45° कोनासमोरील बाजू]
$\begin{array}{l}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{8}
\\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \times 2 \sqrt{2}\end{array}$
∴ AB = BC = 2 एकक
∴ ∠BAC = ∠BCA ....[समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]
समजा, ∠BAC = ∠BCA = x .....(i)
ΔABC मध्ये,
∠A + ∠B + ∠C = 180° ........[त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते.]
∴ x + 90° + x = 180° .....[(i) वरून]
∴ 2x = 90°
$\therefore x=\frac{90^{\circ}}{2}$.....[(i) वरून]
∴ x = 45°
∴ ∠BAC = ∠BCA = 45°
∴ ΔABC हा 45° - 45° - 90° त्रिकोण आहे.$\therefore A B=B C=\frac{1}{\sqrt{2}} \times A C$...[45° कोनासमोरील बाजू]
$\begin{array}{l}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{8}
\\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \times 2 \sqrt{2}\end{array}$
∴ AB = BC = 2 एकक
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
त्रिकोण ABC चे शिरोबिंदू A(–7, 6), B(2, –2) आणि C(8, 5) आहेत. तर त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक लिहा.
उकल:
समजा, A(x1, y1) आणि B(x2, y2) आणि C(x3, y3)
x1 = –7, y1 = 6 आणि x2 = 2, y2 = –2 आणि x3 = 8, y3 = 5
मध्यगासंपातबिंदूच्या सूत्रानुसार,
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $\left(\frac{\square}{3}, \frac{\square}{3}\right)$
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $\left(\frac{3}{3}, \square\right)$
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $(1, \square)$
→→उकल:
समजा, A(x1, y1) आणि B(x2, y2) आणि C(x3, y3)
x1 = –7, y1 = 6 आणि x2 = 2, y2 = –2 आणि x3 = 8, y3 = 5
मध्यगासंपातबिंदूच्या सूत्रानुसार,
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $\left(\frac{\square}{3}, \frac{\square}{3}\right)$
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $\left(\frac{3}{3}, \square\right)$
∴ त्रिकोण ABC च्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक = $(1, \square)$
एक दोन अंकी संख्या आणि त्यांच्या अंकांची अदलाबदल करून येणारी संख्या यांची बेरीज 132 आहे. या संख्येचा दशक स्थानचा अंक एकक स्थानच्या अंकापेक्षा 2 ने मोठा आहे. मूळ संख्या शोधण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
कृती: एकक स्थानचा अंक y आणि दशक स्थानचा अंक x मानू.
∴ ती संख्या = 10x + y
∴ त्या संख्येच्या अंकांची अदलाबदल करून येणारी संख्या = ______
पहिल्या अटीनुसार दोन्ही संख्यांची बेरीज = 132
$\therefore 10 x+y+10 y+x=$${\square}$
$\therefore x+y=$${\square}$ (I)
दुसऱ्या अटीनुसार
दशक स्थानचा अंक = एकक स्थानचा अंक + 2
$\therefore \square$
∴ x - y = 2 ............(ii)
समीकरण (i) आणि (ii) सोडवू.
$\therefore x =\square y =\square$
विचारलेली मूळ संख्या = ______
→कृती: एकक स्थानचा अंक y आणि दशक स्थानचा अंक x मानू.
∴ ती संख्या = 10x + y
∴ त्या संख्येच्या अंकांची अदलाबदल करून येणारी संख्या = ______
पहिल्या अटीनुसार दोन्ही संख्यांची बेरीज = 132
$\therefore 10 x+y+10 y+x=$${\square}$
$\therefore x+y=$${\square}$ (I)
दुसऱ्या अटीनुसार
दशक स्थानचा अंक = एकक स्थानचा अंक + 2
$\therefore \square$
∴ x - y = 2 ............(ii)
समीकरण (i) आणि (ii) सोडवू.
$\therefore x =\square y =\square$
विचारलेली मूळ संख्या = ______
सोबतच्या आकृतीत, दिलेल्या माहितीवरून त्रिकोणाच्या मध्यगेची लांबी काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा
कृती: A(–1, 1), B(5, –3), C(3, 5) समजा, D(x, y)
मध्यबिंदू सूत्रानुसार,
$\begin{array}{l} x =\frac{5+3}{2} \therefore x =\square
\\ y =\frac{-3+5}{2} \therefore y =\square\end{array}$
अंतराच्या सूत्रानुसार,
$\begin{array}{l}\therefore A D=\sqrt{(4-\square)^2+(1-1)^2}
\\ \therefore A D=\sqrt{(\square)^2+(0)^2}
\\ \therefore A D=\sqrt{\square}
\\ \therefore A D=\square\end{array}$
→→कृती: A(–1, 1), B(5, –3), C(3, 5) समजा, D(x, y)
मध्यबिंदू सूत्रानुसार,
$\begin{array}{l} x =\frac{5+3}{2} \therefore x =\square
\\ y =\frac{-3+5}{2} \therefore y =\square\end{array}$
अंतराच्या सूत्रानुसार,
$\begin{array}{l}\therefore A D=\sqrt{(4-\square)^2+(1-1)^2}
\\ \therefore A D=\sqrt{(\square)^2+(0)^2}
\\ \therefore A D=\sqrt{\square}
\\ \therefore A D=\square\end{array}$
सोबतच्या आकृतीत, ∆MNK मध्ये, ∠MNK = 90°, ∠M = 45° MK = 6, तर MN व KN काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती: ∆MNK मध्ये,
∠MNK = 90°, ∠M = 45° ……[पक्ष]
∴ ∠K = ${\square}$
∆MNK हा 45° – 45° – 90° त्रिकोण आहे,
45° – 45° – 90° त्रिकोणाच्या प्रमेयानुसार,
$\square=\frac{1}{\sqrt{2}} MK$ व $\square=\frac{1}{\sqrt{2}} MK$.
$\therefore MN =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \square$ व $KN =\frac{1}{\sqrt{2}} \times 6$
$\therefore MN =3 \sqrt{2}$ व $KN =3 \sqrt{2}$
→कृती: ∆MNK मध्ये,
∠MNK = 90°, ∠M = 45° ……[पक्ष]
∴ ∠K = ${\square}$
∆MNK हा 45° – 45° – 90° त्रिकोण आहे,
45° – 45° – 90° त्रिकोणाच्या प्रमेयानुसार,
$\square=\frac{1}{\sqrt{2}} MK$ व $\square=\frac{1}{\sqrt{2}} MK$.
$\therefore MN =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \square$ व $KN =\frac{1}{\sqrt{2}} \times 6$
$\therefore MN =3 \sqrt{2}$ व $KN =3 \sqrt{2}$
2x - 6y = 3 या समीकरणाचा आलेख काढण्यासाठी खालील सारणी पूर्ण करा.
→| x | -5 | ${\square}$ |
| y | ${\square}$ | 0 |
| (x,y) | ${\square}$ | ${\square}$ |
O आणि P केंद्र असलेली वर्तुळे बिंदू A मध्ये आतून स्पर्श करतात. जर, BQ = 9, DE = 5, तर वर्तुळाच्या त्रिज्या शोधण्यासाठी खालील कृती करा.
उकल: मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या R मानू.
लहान वर्तुळाची त्रिज्या r मानू.
OA, OB, OC आणि OD या मोठ्या वर्तुळाच्या त्रिज्या
∴ OA = OB = OC = OD = R
PQ = PA = r
OQ = OB - BQ =${\square}$
OE = OD - DE = ${\square}$
P केंद्र असलेल्या वर्तुळात दोन जीवांच्या आंतरविभाजनाच्या गुणधर्मानुसार
OQ × OA = OE × OF
${\square}$ xR = ${\square}$ x${\square}$(∵ OE = OF)
R2 - 9R = R2 - 10R + 25
R = ${\square}$
AQ = 2r = AB - BQ
2r = 50 - 9 = 41
r =${\square}$= ${\square}$
→उकल: मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या R मानू.
लहान वर्तुळाची त्रिज्या r मानू.
OA, OB, OC आणि OD या मोठ्या वर्तुळाच्या त्रिज्या
∴ OA = OB = OC = OD = R
PQ = PA = r
OQ = OB - BQ =${\square}$
OE = OD - DE = ${\square}$
P केंद्र असलेल्या वर्तुळात दोन जीवांच्या आंतरविभाजनाच्या गुणधर्मानुसार
OQ × OA = OE × OF
${\square}$ xR = ${\square}$ x${\square}$(∵ OE = OF)
R2 - 9R = R2 - 10R + 25
R = ${\square}$
AQ = 2r = AB - BQ
2r = 50 - 9 = 41
r =${\square}$= ${\square}$
खालील शाब्दिक उदाहरण सोडवण्यासाठी कृती पूर्ण करा
दोन क्रमागत सम नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांची बेरीज 244 आहे, तर त्या संख्या शोधा.
कृती: पहिली सम नैसर्गिक संख्या x मानू.
दुसरी क्रमागत सम नैसर्गिक संख्या = (______)
दिलेल्या अटीनुसार
x2 + (x + 2)2 = 244
x2 + x2 + 4x + 4 – (______) = 0
2x2 + 4x – 240 = 0
x2 + 2x – 120 = 0
x2 + (______) – (______) – 120 = 0
x (x + 12) – (______) (x + 12) = 0
(x + 12) (x – 10) = 0
x = (______) x = 10
परंतु, नैसर्गिक संख्या ऋण नसते, म्हणून x = -12 शक्य नाही.
म्हणून, पहिली नैसर्गिक संख्या x = 10 असेल.
म्हणून, दुसरी नैसर्गिक संख्या = x + 2 = 10 + 2 = 12 असेल.
दोन क्रमागत सम नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांची बेरीज 244 आहे, तर त्या संख्या शोधा.
कृती: पहिली सम नैसर्गिक संख्या x मानू.
दुसरी क्रमागत सम नैसर्गिक संख्या = (______)
दिलेल्या अटीनुसार
x2 + (x + 2)2 = 244
x2 + x2 + 4x + 4 – (______) = 0
2x2 + 4x – 240 = 0
x2 + 2x – 120 = 0
x2 + (______) – (______) – 120 = 0
x (x + 12) – (______) (x + 12) = 0
(x + 12) (x – 10) = 0
x = (______) x = 10
परंतु, नैसर्गिक संख्या ऋण नसते, म्हणून x = -12 शक्य नाही.
म्हणून, पहिली नैसर्गिक संख्या x = 10 असेल.
म्हणून, दुसरी नैसर्गिक संख्या = x + 2 = 10 + 2 = 12 असेल.
एका आयताचे क्षेत्रफळ 192 चौसेमी असून त्याची लांबी 16 सेमी आहे, तर त्या आयताच्या कर्णाची लांबी माहीत करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
कृती: सोबतच्या आकृतीत, ${\square}$ LMNT हा आयत आहे.
आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
∴ आयताचे क्षेत्रफळ = ${\square}$× रुंदी
रुंदी = 12 सेमी
∠TLM = 90° [आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.]
∆TLM मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
$TL ^2+\square= TM ^2$
$TM ^2=\square+12^2$
$TM ^2=\square+144$
TM = 20
→ कृती: सोबतच्या आकृतीत, ${\square}$ LMNT हा आयत आहे.
आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
∴ आयताचे क्षेत्रफळ = ${\square}$× रुंदी
रुंदी = 12 सेमी
∠TLM = 90° [आयताचा प्रत्येक कोन काटकोन असतो.]
∆TLM मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार,
$TL ^2+\square= TM ^2$
$TM ^2=\square+12^2$
$TM ^2=\square+144$
TM = 20