Question
अंतराल $\left[\begin{array}{lll}0, & 2 \pi\end{array}\right]$ में समीकरण $|\cot x|=\cot x+\frac{1}{\sin x}$ के हलों की संख्या है
If $\operatorname{cotx}<0 \Rightarrow 2 \cot x+\frac{1}{\sin x}=0$
$\Rightarrow 2 \cos x=-1$
$\Rightarrow x =\frac{2 \pi}{3}$ or $\frac{4 \pi}{3}( reject )$
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$p_t(x)=(\sin t) x^2-(2 \cos t) x+\sin t$
$x$ में चर गुणांकों से युक्त एक द्विघात बहुपदों का समुच्चय है।
मान लें कि $A(t)=\int_0^1 p_t(x) d x$ । निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(I)$ $A(t) < 0$, सभी $t$ के लिए
$(II)$ $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिन्दु $(critical\,points)$ हैं
$(III)$ $A(t)=0$ अपरिमित कई $t$ के लिए
$(IV)$ $A^{\prime}(t) < 0$ सभी $t$ के लिए.
(से) कथन असत्य है (हैं)?
$(A)$ $\arg (-1-i)=\frac{\pi}{4}$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$
$(B)$ फलन (function) $f: R \rightarrow(-\pi, \pi]$, जो सभी $t \in R$ के लिये $f(t)=\arg (-1+i t)$ के द्वारा परिभाषित है, $R$ के सभी बिंदुओं पर संतत (continuous) है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$
$(C)$ किन्ही भी दो शून्येत्तर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)-\arg \left(z_1\right)+\arg \left(z_2\right)$
$2 \pi$ का एक पूर्णांक गुणज (integer multiple) है
$(D)$ किन्ही भी तीन दी गयी भिन्न (distinct) सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ और $z_3$ के लिये, प्रतिबंध (condition) $\arg \left(\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_2-z_1\right)}\right)=\pi$, को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ का बिंदुपथ (locus) एक सरल रेखा (straight line) पर स्थित है