$ \mathrm{A}^2=\left(\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}\right)\left(\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}\right) $

$ =\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}+4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $

$ =\mathrm{I}_2-4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}+4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $

$ =\mathrm{I}_2 $

$ \mathrm{AX}=\lambda \mathrm{X} $

$ \mathrm{A}^2 \mathrm{X}=\lambda \mathrm{AX}$

$ \mathrm{X}=\lambda(\lambda \mathrm{X}) $

$ \mathrm{X}=\lambda^2 \mathrm{X} $

$\mathrm{X}\left(\lambda^2-1\right)=0 $

$ \lambda^2=1 $

$ \lambda= \pm 1$

Sum of square of all possible values $=2$