Download App

5. continuity and differentiation — ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ — Question

Gujarat Boardગુજરાતી માધ્યમધોરણ 12 સાયન્સગણિત5. continuity and differentiation1 Mark
MCQ
ધારો કે $\alpha \in R$ એવો છે કે જેથી વિધેય $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\cos ^{-1}\left(1-\{x\}^{2}\right) \sin ^{-1}(1-\{x\})}{\{x\}-\{x\}^{3}}, & x \neq 0 \\ \alpha, & x=0 \end{array}\right.$ એ $x=0$ પાસે સતત છે, જ્યાં $\{x\}=x-[x],[x]$એ $x$ અથવા $x$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાક છે, તો
  • A
    $\alpha=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
  • B
    $\alpha=0$
  • ✓
    આવા કોઈ $\alpha$ નું અસ્તિત્ત્વ નથી
  • D
    $\alpha=\frac{\pi}{4}$
✓

Answer

Correct option: C.
આવા કોઈ $\alpha$ નું અસ્તિત્ત્વ નથી
c
$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(0)=\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}}(x)$

$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}\left(1-x^{2}\right) \cdot \sin ^{-1}(1-x)}{x(1-x)(1+x)}$

$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}\left(1-x^{2}\right)}{x \cdot 1 \cdot 1} \cdot \frac{\pi}{2}$

Let $1-x^{2}=\cos \theta$

$\frac{\pi}{2} \operatorname{Lim}_{ x \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{1-\cos \theta}}$

$\frac{\pi}{2} \operatorname{Lim}_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

Now, $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos ^{-1}\left(1-(1+x)^{2}\right) \sin ^{-1}(-x)}{(1+x)-(1+x)^{3}}$

$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{\pi}{2}\left(-\sin ^{-1} x\right)}{(1+x)(2+x)(-x)}$

$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{\pi}{2}}{1 \cdot 2} \cdot \frac{\sin ^{-1} x}{x}=\frac{\pi}{4}$

$\Rightarrow RHL \neq LHL$

Function can't be continuous

$\Rightarrow$ No value of $\alpha$ exist

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 5. continuity and differentiation→5. continuity and differentiation — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $ y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec ^2 x d x+\left(e^{2 y} \tan ^2 x+\tan x\right) d y=0,$ $0<\mathrm{x}<\frac{\pi}{2}$,નો ઉકેલ છે. $\mathrm{y}\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$ જો $\mathrm{y}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\alpha$, તો $\mathrm{e}^{8 \alpha}=$............
→
જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 4}&1\end{array}} \right],$ તો $adj\;\left( {3{A^2} + 12A} \right) = $ . . . .
→
વિધેય  $f(x)=\sin ^{-1}\left[2 x^{2}-3\right]+\log _{2}\left(\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-5 x+5\right)\right)$ નો પ્રદેશ મેળવો.  ( કે જ્યાં  $[ t ]$ એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે. )
→
10 મીટર ત્રિજ્યાવાળા એક નળઆકાર પીપમાં 314 (મીટર)3/ કલાકનાં દરે ઘઉં ભરવામાં આવે છે. તો ધઉંની ઊંચાઈના વધવાનો દર  ..................... હોય.
→
બે પાસાને ઉછાળવામાં આવે છે. તેમની પરના અંકોને  $\lambda$ અને $\mu$ લેવામાં આવે છે અને સમીકરણ સંહતિ 

$x+y+z=5$    ;    $x+2 y+3 z=\mu$   ;     $x+3 y+\lambda z=1$

ને બનાવમાં આવે છે.જો $\mathrm{p}$ એ સમીકરણ સંહતિને એકાકી ઉકેલ હોય તેની સંભાવના દર્શાવે છે અને $\mathrm{q}$ એ સમીકરણ સંહતિનો ઉકેલગણ ખાલીગણ છે તેની સંભાવના દર્શાવે છે તો

→
જો $\int \limits_{0}^{\sqrt{3}} \frac{15 x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}} d x=\alpha \sqrt{2}+\beta \sqrt{3}$ જ્યાં $\alpha, \beta$ એ પૂર્ણાકો છે, તો $\alpha+\beta=$ ............
→
$\int_{}^{} {x\sqrt {1 + {x^2}} } \;dx = $
→
એક ટ્રાવેલ એજન્સીની ખાનગી બસનો એક રૂટ પરનો સર્વે કરતાં માલૂમ પડયું કે $91\,\% $ બસ સમયસર આગમન કરે છે અને $95\,\% $ બસ સમયસર પ્રસ્થાન કરે છે. જ્યારે $85\,\% $ બસ સમયસર આગમન અને પ્રસ્થાન બંને કરે છે. સમયસર પ્રસ્થાન કરતી બસ સમયસર આગમન ન કરે તેની સંભાવના $.........$ છે.
→
વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}}+x y \frac{d y}{d x}=0$ નું વ્યાપક ઉકેલ શોધો 
→
જો $\int \frac{f(x) d x}{\log \sin x}=\log \log \sin x$, હોય તો $f(x)=\ldots \ldots \ldots$
→