ધારો કે $R=\left(\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right)$ એક શુન્યેતર $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જ્યાં $x \sin \theta=y \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=z \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)$ $\neq 0, \theta \in(0,2 \pi)$.એક ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે, ધારો કે Trace $(M)$ એ $M$ ના વિકર્ણના તમામ ધટકોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો નીચેના વિધાનો માંથી
$(I)$ $Trace(R)=0$
$(II)$ જો $Trace(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(R))=0$, તો $R$માં બરાબર એક શૂન્યેતર ધટક હોય
JEE MAIN 2024, Difficult
Download our app for free and get started
$ x \sin \theta=y \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=z \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)=\lambda \text { (say), } \lambda \neq 0$
$\Rightarrow x, y, z \neq 0 \text { and } \sin \theta, \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right), \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$
Also,$\sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)=0 \forall \theta \in \mathrm{R} $
$\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\frac{-\lambda}{2} \frac{\left(\sin ^2 \theta+\sin ^2\left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin ^2\left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)\right)}{\sin \theta \sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right) \sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)} \neq 0$
$(i)$ $\quad$ Trace $(\mathrm{R})=x+y+z \neq 0$
$\Rightarrow$ Statement $(i)$ is False
$(ii)$ $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\mathrm{R}))=|\mathrm{R}| \mathrm{R}$
Trace $(Adj(Adj(R)))$
$=x y z(x+y+z) \neq 0$
$\Rightarrow$ Hypothesis of conditional statement $(ii)$ is false
$\Rightarrow$ Conditional statement $(ii)$ is vacuously true !!
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1જો $2x + 3y - 5z = 7, \,x + y + z = 6$, $3x - 4y + 2z = 1,$ તો $ x =$View Solution
- 2સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $x + \lambda y - z = 0,\lambda x - y - z = 0\;,\;x + y - \lambda z = 0$ નો શૂન્યતેર ઉકેલ . . . . . માટે છે.View Solution
- 3જો $A$ અને $B$ એ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક છે કે અને $|B| \ne 0$ તો $(B^{-1}AB)^5 =$View Solution
- 4અહી $[\lambda]$ એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે. $\lambda$ ની કિમંતો નો ગણ મેળવો કે જેથી સમીકરણ સંહતિ $x+y+z=4,3 x+2 y+5 z=3$ $9 x+4 y+(28+[\lambda]) z=[\lambda]$ નો ઉકેલ મળે.View Solution
- 5ધારો કે $S=\left\{\left(\begin{array}{cc}-1 & a \\ 0 & b\end{array}\right) ; a, b \in\{1,2,3, \ldots 100\}\right\}$ અને $T_{n}=\left\{A \in S: A^{n(n+1)}=I\right\}$ છે. તો $\bigcap \limits_{n=1}^{100} T_{n}$ માં સભ્યોની સંખ્યા ...... છે.View Solution
- 6જો $a,b,c$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે. તો આપલે સમીકરણ સંહતિ $x, y$ અને $z$ ના સ્વરૂપે $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1$, $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1, - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1$ હોય તો ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.View Solution
- 7ધારોકે $A =\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & \alpha\end{array}\right]$ અને $B =\left[\begin{array}{ll}\beta & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \alpha, \beta \in R$. ધારોકે $\alpha_{1}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે કે જે $( A + B )^{2}= A ^{2}+\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ નું સમાધાન કરે છે અને $\alpha_{2}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે કે જે $( A + B )^{2}= B ^{2}$ નું સમાઘાન કરે છે. તો $\left|\alpha_{1}-\alpha_{2}\right|=$View Solution
- 8જો $a, b, c$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને જો સમીકરણો $(a - 1 )x = y + z,$ $(b - 1 )y = z + x ,$ $(c - 1 )z= x + y,$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તો $ab + bc + ca$ ની કિમત મેળવો.View Solution
- 9જો $\mathrm{a, b, c}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો $\left|\begin{array}{ccc}View Solution
2 y+4 & 5 y+7 & 8 y+a \\
3 y+5 & 6 y+8 & 9 y+b \\
4 y+6 & 7 y+9 & 10 y+c
\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો. - 10ચોરસ શ્રેણિક $P$ એ સમીકરણ $P^2 = I\, -\, P$ નું પાલન કરે છે અને જો $P^n = 5I\, -\, 8P$ હોય તો $n$ મેળવો.View Solution