$\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} =$
Exercise-8.2-2(2)
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$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$
$= \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}$
$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}= \sin 60^\circ$
$= \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}$
$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}= \sin 60^\circ$
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