Question
फलन $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x,\,\,{\rm{if \,\,0}} \le x \le {\rm{1}}\\{\rm{1,\,\,}}\,{\rm{ if}}\,1 < x \le 2\end{array} \right.$ तब
✓
Answer
$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x{\rm{ ,}}}&{0 \le x \le 1}\\{1{\rm{ ,}}}&{1 < x \le 2}\end{array}} \right.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(1 - h)$
$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,(1 - h) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,f(1 + h) = 1$
अत: फलन अंतराल $(0, 2)$ में सतत् है।
अब $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,(0 + h) = 0 = f(0)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,(2 - h) = 1 = f(2)$
अत: फलन अंतराल $[0, 2]$ में सतत् है।
चित्र से, फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(1 - h)$
$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,\,(1 - h) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,f(1 + h) = 1$
अत: फलन अंतराल $(0, 2)$ में सतत् है।
अब $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,(0 + h) = 0 = f(0)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \,(2 - h) = 1 = f(2)$
अत: फलन अंतराल $[0, 2]$ में सतत् है।
चित्र से, फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
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