फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$
Miscellaneous Exercise-23
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माना $I = \int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x$
$x = \cos \theta$ रखने पर,
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1} x \Rightarrow dx = - \sin \theta d\ \theta$
$\therefore I=\int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}(-\sin \theta) d \theta =\int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2 \cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}}(-\sin \theta) d \theta (\because 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ तथा $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2})$
$= \int \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)(-\sin \theta) d \theta =\frac{1}{2} \int_{} \theta(-\underset{}{I} \theta) d \theta [\because \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta]$
$=\frac{1}{2}\left\{\theta \cos \theta-\int 1 \cos \theta d \theta\right\}+C =\frac{1}{2} \theta \cos \theta-\frac{1}{2} \sin \theta+C ($खण्डशः समाकलन से$)$
$=\frac{1}{2}\left(\cos ^{-1} x\right) x-\frac{1}{2} \sqrt{1-\cos ^{2} \theta}+C =\frac{1}{2} \times \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \sqrt{1-x^{2}}+C$
$x = \cos \theta$ रखने पर,
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1} x \Rightarrow dx = - \sin \theta d\ \theta$
$\therefore I=\int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}(-\sin \theta) d \theta =\int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2 \cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}}(-\sin \theta) d \theta (\because 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ तथा $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2})$
$= \int \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)(-\sin \theta) d \theta =\frac{1}{2} \int_{} \theta(-\underset{}{I} \theta) d \theta [\because \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta]$
$=\frac{1}{2}\left\{\theta \cos \theta-\int 1 \cos \theta d \theta\right\}+C =\frac{1}{2} \theta \cos \theta-\frac{1}{2} \sin \theta+C ($खण्डशः समाकलन से$)$
$=\frac{1}{2}\left(\cos ^{-1} x\right) x-\frac{1}{2} \sqrt{1-\cos ^{2} \theta}+C =\frac{1}{2} \times \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \sqrt{1-x^{2}}+C$
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