CBSE Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसमाकलन2 Marks
Question
$\int \frac{(3 \sin \phi-2) \cos \phi}{5-\cos ^{2} \phi-4 \sin \phi} d \phi$ का मान ज्ञात कीजिए।
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Answer
मान लीजिए y = sin$\phi$ तब dy = cos$ \phi$ d$ \phi$ इसलिए $\int \frac{(3 \sin \phi-2) \cos \phi}{5-\cos ^{2} \phi-4 \sin \phi} d \phi$ $=\int \frac{(3 y-2) d y}{5-\left(1-y^{2}\right)-4 y}$ $=\int \frac{3 y-2}{y^{2}-4 y+4} d y$ $=\int \frac{3 y-2}{(y-2)^{2}}=\mathrm{I}$ (मान लीजिए) अब हम $\frac{3 y-2}{(y-2)^{2}}$ $=\frac{\mathrm{A}}{y-2}$$+\frac{\mathrm{B}}{(y-2)^{2}}$ लिखते हैं इसलिए 3y − 2 = A(y − 2) + B दोनों पक्षों से y के गुणांक एवं अचर पदों की तुलना करने पर हम पाते हैं, A = 3 एवं B - 2A = -2, जिससे हमें A = 3 एवं B = 4 प्राप्त होता है। इसलिए अभीष्ट समाकलन निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है। $\mathrm{I}=\int\left[\frac{3}{y-2}+\frac{4}{(y-2)^{2}}\right]$$ d y=3 \int \frac{d y}{y-2}$ $+4 \int \frac{d y}{(y-2)^{2}} $ = 3 log |y − 2| $+4\left(-\frac{1}{y-2}\right)$$+\mathrm{C}=3 \log |\sin \phi-2|$$+\frac{4}{2-\sin \phi}+\mathrm{C}$ = 3 log $(2-\sin \phi)$ $+\frac{4}{2-\sin \phi}+C$ (क्योंकि 2 - sin$ \phi$ हमेशा धनात्मक है)
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