_ ^ 1 ( x^2 - 1) x^2 + 1 ;dx = - Vidyadip

MCQ

$\int_{}^{} {\frac{1}{{({x^2} - 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}} \;dx = $

A
$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}} \right\} + c$
B
$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt 2 }}} \right\} + c$
✓
$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}} \right\} + c$
D
એકપણ નહિ.

✓

Answer

Correct option: C.

$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}} \right\} + c$

(c) Put $x = \tan \theta \Rightarrow dx = {\sec ^2}\theta \,d\theta ,$ then
$\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{({x^2} - 1)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \int_{}^{} {\frac{{{{\sec }^2}\theta \,d\theta }}{{({{\tan }^2}\theta - 1)\sec \theta }}} } = \int_{}^{} {\frac{{\cos \theta \,d\theta }}{{(2{{\sin }^2}\theta - 1)}}} $
Again put $t = \sin \theta \Rightarrow dt = \cos \theta \,d\theta ,$ then it reduces to
$\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{(2{t^2} - 1)}}} = \frac{1}{2}\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{{t^2} - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left( {\frac{{t - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{t + \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}} \right) + c$
$ = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}} \right) + c$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.1 inderfinite integral→7.1 inderfinite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો દ્વિઘાત સમીક૨ણ $f(x)=ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ને બે એકબીજાના વ્યસ્ત ધન બીજ હોય તો

જો A² = A થાય તેવો ચોરસ શ્રેણિક A હોય, તો (1 + A)²- 3A = ________.

અંતરાલ $[-1,3]$ માં વિધેય $f(x)=\left|x^2-5 x+6\right|-3 x+2$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $...........$ છે.

ધારોકે $[t]$ એ $t$ અથવા તેનાથી નાનો મહ્તમ પૂર્ણાંક છે. ધારોકે $A$ એ $2310$ ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોનો ગણ છે અને $f: A \rightarrow \mathbb{Z}$ એ વિધેય $f(x)=\left[\log _2\left(x^2+\left[\frac{x^3}{5}\right]\right)\right]$ છે. $A$ થી $f$ નાં વિસ્તાર પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા ............ છે.

$f(x)=\tan ^{-1}(\sin x+\cos x), x>0$ એ............અંતરાલમાં હંમેશાં વધતું વિઘેય છે.

જો $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{(1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|}},\,\, - \pi /6 < x < 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b,\,x = 0\\{e^{\tan 2x/\tan 3x}},\,0 < x < - \pi /6\end{array} \right.$ તો જો $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તો $a$ અને $b$ ની કિમંત અનુક્રમે $. . .$ અને $. . . .$ થાય .

જો $y$-અક્ષ, રેખાઓ $2 y+x=6$ અને $5 x-6 y=30$ વડે આવૃત્ત પ્રદેશમાં એક બિંદુ $A(x, y)$ આવેલું હોય., તો $y<1$ હોય તેની સંભાવના $\dots\dots\dots$ છે.

કિંમત શોધો : $\cot \left(\tan ^{-1} a+\cot ^{-1} a\right)$

જો $A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ i & 1\end{array}\right), i=\sqrt{-1}$, અને

$\mathrm{Q}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{BA}$,તો શ્રેણિક $\mathrm{A} \mathrm{Q}^{2021} \mathrm{~A}^{\mathrm{T}}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક મેળવો.

જો વિધેય $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{|x|} & ,|x| \geq 2 \\ a x^2+2 b, & |x|<2\end{array}\right.$ એ $R$ પર વિકલનીય હોય, તો$48(\mathrm{a}+\mathrm{b})=$_______________.