_ ^ 1 ( x^2 - 1) x^2 + 1 ;dx = - Vidyadip

MCQ

$\int_{}^{} {\frac{1}{{({x^2} - 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}} \;dx = $

A
$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}} \right\} + c$
B
$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt 2 }}} \right\} + c$
✓
$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}} \right\} + c$
D
એકપણ નહિ.

✓

Answer

Correct option: C.

$\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left\{ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}} \right\} + c$

c
(c) Put $x = \tan \theta \Rightarrow dx = {\sec ^2}\theta \,d\theta ,$ then
$\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{({x^2} - 1)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \int_{}^{} {\frac{{{{\sec }^2}\theta \,d\theta }}{{({{\tan }^2}\theta - 1)\sec \theta }}} } = \int_{}^{} {\frac{{\cos \theta \,d\theta }}{{(2{{\sin }^2}\theta - 1)}}} $
Again put $t = \sin \theta \Rightarrow dt = \cos \theta \,d\theta ,$ then it reduces to
$\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{(2{t^2} - 1)}}} = \frac{1}{2}\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{{t^2} - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left( {\frac{{t - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{t + \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}} \right) + c$
$ = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\log \left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x\sqrt 2 }}} \right) + c$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.1 inderfinite integral→7.1 inderfinite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $a + b + c = 0,\,\,\left| {\vec a} \right| = 3,\,\left| {\vec b} \right| = 5$ અને $\left| {\vec c} \right| = 7,$ હોય તો $\vec a$ અને $\vec b$ વચ્ચેનો ખૂણો મેળવો.

જો $A=\left[\tan \left(\frac{\theta}{2}\right)^{-\tan \left(\frac{\theta}{2}\right)}{0}\right]$ અને $\left( I _{2}+ A \right)\left( I _{2}- A \right)^{-1}=\left[\begin{array}{ll} a & - b \\ b & a \end{array}\right],$ હોય, તો $13\left( a ^{2}+ b ^{2}\right)=............$

ધારો કે એક ત્રિકોણમાં $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ અને $\mathrm{C}$ શિરોબિંદુઓના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે $2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ છે. ધારો કે $l_1, l_2$ અને $l_3$ એ ત્રિકોણનાં લંબકેન્દ્રમાંથી બાજુઓ $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ અને $\mathrm{CA}$ પર લંબની લંબાઈઓ છે. તો $l_1^2+l_2^2+l_3^2=$____________.

${\text{64secx}}\,\, + \,\,{\text{27}}\,{\text{cosecx,}}\,\,{\text{0}}\,\, < \,\,{\text{x}}\,\, < \,\,\frac{\pi }{{\text{2}}}$ ની ન્યૂનતમ કિમંત .......

પરવલય $y^2 = 4x$ અને રેખા $2x + y -4 = 0$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

જો ${A^2} - A + I = 0$, તો ${A^{ - 1}}$=

જો વિધેય $f(x)=\frac{1}{x} \log _{e}(\frac{1+\frac{x}{a}}{1-\frac{x}{b}}) , \quad x<0$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad k \quad, \quad x=0$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x-1}{\sqrt{x^{2}+1}-1} ,\,\,\, x>0$

એ $x=0$ આગળ સતત હોય તો $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{k}$ ની કિમંત મેળવો.

વક્ર $y = y(x)$ ના કોઈ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{{2y}}{{{x^2}}}$ છે અને વક્રએ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ ના કેન્દ્ર માંથી પસાર થાય છે તો વક્રનું સમીકરણ મેળવો.

જો $\,\,f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\operatorname{sgn} ({x^2} - 3x + 2)\,\,\,;\,x \in Q} \\
{0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,x \notin Q}
\end{array}} \right.$ એ કેટલા બિંદુઓ આગળ સતત થાય . ( $sgn\ x$ એ ચિહ્ન વિધેય છે.)

ધારોકે $f(x)$ એ $6$ ઘાતવાળી $x$ ની બહુપદી છે, કે જેમાં $x^6$ નો સહગુણક એકમ ઘટક છે, અને તેનાં આત્યાંતિક મૂલ્યો $x=-1$ અને $x=1$ આગળ છે. જો $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=1$ હોય, તો $5 \cdot f(2)=..........$