_ ^ dx 2 + x = - Vidyadip

Question

$\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}} = } $

✓

Answer

b
(b)$\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{2 + \cos x}} = \int_{}^{} {\frac{{dx}}{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + 2{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - {{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)}}} } $
$ = \int_{}^{} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + 3{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)}}} = \int_{}^{} {\frac{{{{\sec }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)}}{{{{\tan }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + 3}}dx} $
$\tan \left( {\frac{x}{2}} \right) = t $ रखने पर $ \Rightarrow {\sec ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)\,dx = 2dt,$
$2\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{{t^2} + 3}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{t}{{\sqrt 3 }}} \right) + c = \frac{2}{{\sqrt 3 }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan \left( {\frac{x}{2}} \right)}}{{\sqrt 3 }}} \right) + c$.

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उस अवकल समीकरण की कोटि जिसका हल ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है, है

यदि $f(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {1 + kx} - \sqrt {1 - kx} }}{x}}&{{\rm{,for}} - 1 \le x < 0}\\{2{x^2} + 3x - 2}&{{\rm{,}}\,{\rm{for\,\, }}\,0 \le \,x \le 1}\end{array}} \right.$, $x = 0$ पर सतत् है, तो $k = $

किसी पूर्णांक $n$ के लिये, $\sin x - \cos x = \sqrt 2 $ का व्यापक हल है

यदि पाँच प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $\frac{24}{5}$ तथा $\frac{194}{25}$ हैं तथा प्रथम चार प्रेक्षणों का माध्य $\frac{7}{2}$, है, तो प्रथम चार प्रेक्षणों का प्रसरण बराबर है

माना $y = y ( x )$, अवकल समीकरण $x \frac{ dy }{ dx }+ y = x$ $\log _{ e } x ,( x >1)$ का हल है। यदि $2 y (2)=\log _{ e } 4-1$ है, तो $y ( e )$ बराबर है

${\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} + \theta } \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - \theta } \right) = $

$\mathop \smallint \limits_3^6 \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {9 - x} + \sqrt x }}\;dx = $

यदि $A = [x:f(x) = 0]$ तथा $B = [x:g(x) = 0]$, तब $A \cap B$ होगा

समीकरण $2{x^2} + 3{y^2} = 30$ निरूपित करता है

मान लें कि $p(x)=x^2+a x+b$, जहां $a$ एवं $b$ वास्तविक संख्याएँ है, के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए $g(x)=p\left(x^3\right)$ को परिभाषित कीजिए। तब निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?

$I$. $g$ के केवल दो भिन्न-भिन्न वास्तविक मूल हैं।

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