_ ^ x - 2 x(2 x - x) dx =

Question

$\int_{}^{} {\frac{{x - 2}}{{x(2\log x - x)}}dx} = $

✓

Answer

b
(b)$\int_{}^{} {\frac{{x - 2}}{{x(2\log x - x)}}\,dx = - \int_{}^{} {\frac{{\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)}}{{(2\log x - x)}}\,dx} } $
$(2\log x - x) = t$ रखने पर,$ \left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\,dx = dt,$,

$ - \int_{}^{} {\frac{1}{t}\,dt = - \log t = - \log (2\log x - x)} $
$ = \log \left( {\frac{1}{{2\log x - x}}} \right) + c$.

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$10$ वस्तुओं के संग्रह में से $4$ वस्तुओं का प्रतिदर्श यदृच्छया बिना विस्थापन के निकाला जाता है जिसमें से $3$ खराब हैं। यदि $X$ प्रतिदर्श में खराब वस्तुओं की संख्या है तो $P(0 < x < 3) =$

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$(2021)^{2022}+(2022)^{2021}$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल है।

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ऐसी दो सरल रेखाओं (straight lines) पर विचार कीजिये, जिनमें से प्रत्येक, वृत्त (circle) $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ और परवलय (parabola) $y^2=4 x$ दोनों पर ही स्पर्शी (tangent) है। माना कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं। एक ऐसे दीर्घवृत्त (ellipse) पर विचार कीजिये जिसका केंद्र (centre) मूलर्बिंदु (origin) $O(0,0)$ पर है और जिसका अर्ध-दीर्घाक्ष (semi-major axis) $O Q$ है। यदि इस दीर्घवृत के लघु अक्ष (minor axis) की लम्बाई $\sqrt{2}$ है, तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

$(A)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता (eccentricity) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई 1 है

$(B)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई $\frac{1}{2}$ है

$(C)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध (bounded) क्षेत्र (region) का क्षेत्रफल (area) $\frac{1}{4 \sqrt{2}}(\pi-2)$ है

$(D)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi-2)$ है

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{({x^{ - 1}} - {a^{ - 1}})}}{{x - a}} = $

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यदि $a >0$ तथा $z =\frac{(1+ i )^{2}}{ a - i }$ का परिमाण (magnitude) $\sqrt{\frac{2}{5}}$ है, तो $\overline{ z }$ बराबर है

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माना यादृच्छिक चर $X$ के दस प्रेक्षण $x _{ i }(1 \leq i \leq 10)$ हैं। यदि $\sum \limits_{ i =1}^{10}\left( x _{ i }- p \right)=3$ तथा $\sum \limits_{ i =1}^{10}\left( x _{ i }- p \right)^{2}=9$, जबकि 0 $\neq p \in R$ है, तो इन प्रेक्षणों का मानक विचलन है :

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यदि $z = x - iy$ एवं ${z^{\frac{1}{3}}} = p + iq$, तब $\left( {\frac{x}{p} + \frac{y}{q}} \right)/({p^2} + {q^2})$ =

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यदि $arg\,z < 0$ तब $arg\,( - z) - arg\,(z)$ का मान होगा

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