STD 12 - 7.2 definite integral — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

अंश व हर में ${\cos ^2}x$ से भाग देने पर,

$I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}}{{{a^2} + {b^2}\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sec }^2}x}}{{{a^2} + {b^2}{{\tan }^2}x}}dx} } $.

$b\,\,\tan x = t$, $b\,\,{\sec ^2}x\,dx = dt$ रखने पर और सीमा

$x = 0$ तब $t = 0$ तथा $x = \frac{\pi }{2},$ तब $t = \infty $

अत: $I = \int_0^\infty {\frac{{\frac{{dt}}{b}}}{{{a^2} + {t^2}}}} $

$= \frac{1}{b}\left[ {\frac{1}{a}{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{t}{a}} \right)} \right]_0^\infty $

$ = \frac{1}{{ab}}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\infty - {{\tan }^{ - 1}}0} \right] $

$= \frac{1}{{ab}}\left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) = \frac{\pi }{{2ab}}$.