Question
$\int_0^{\pi /2} {\frac{{x\sin x\cos x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}} \,dx = $
$ = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\cos x\sin x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}} $.....$(ii)$
समीकरण $(i)$ व $(ii)$ को जोड़ने पर,
$2I = \frac{\pi }{2}\int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x\sin x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}} $ $dx$
==> $I = \frac{\pi }{4}\int_0^{\pi /2} {\frac{{\tan x\,{{\sec }^2}x}}{{1 + {{\tan }^4}x}}dx} $
${\tan ^2}x = t$ रखने पर,
$I = \frac{\pi }{8}\int_0^\infty {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}= \frac{\pi }{8}[{{\tan }^{ - 1}}t]_0^\infty = \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}} $.
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$f ( x )=\left\{\begin{array}{cc}3\left(1-\frac{| x |}{2}\right) & \text { if }| x | \leq 2 \text { } \\ 0 & \text { if }| x |>2 \text { }\end{array}\right.$ द्वारा परिभाषित है। माना $g: R \rightarrow R g( x )=f( x +2)-f( x -2)$ द्वारा परिभाषित है। यदि $R$ के उन बिन्दुओं की संख्या जहाँ $g$ संतत नही है और जहॉँ $g$ अवकलनीय नहीं है, क्रमश: $n$ और $m$ है, तो $n + m$ बराबर है ........... |