_ ,0 ^ , ^2 x ,dx = - Vidyadip

MCQ

$\int_{\,0}^{\,\pi } {\log {{\sin }^2}x\,dx = } $

✓
$2\pi {\log _e}\left( {\frac{1}{2}} \right)$
B
$\pi {\log _e}2 + c$
C
$\frac{\pi }{2}{\log _e}\left( {\frac{1}{2}} \right) + c$
D
એકપણ નહીં.

✓

Answer

Correct option: A.

$2\pi {\log _e}\left( {\frac{1}{2}} \right)$

(a) $\int_0^\pi {2\log \sin xdx = 2\int_0^{2\frac{\pi }{2}} {\log \sin xdx = 4\int_0^{\pi /2} {\log \sin x\,dx} } } $

$ = 4 \times \left( { - \frac{\pi }{2}\log 2} \right) = - 2\pi {\log _e}2 = 2\pi {\log _e}\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right)$ તો $x$ અને $y$ ની બધી જ કિંમત માટે હોય તથા $f\left( 5 \right) = 2,f'\left( 0 \right) = 3$ તો $f'\left( 5 \right)$ ની કિંમત શું થાય $ ?$

ધારો કે $a,b,c\; \in R.$ જો $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ હોય કે જેથી $a + b + c = 3$ અને $f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + xy,$
$\forall x,y \in R,$ તો $\mathop \sum \limits_{n = 1}^{10} f\left( n \right)$ની કિંમત મેળવો.

જો$\overline {AB} \,\,||\,\,\overline {CD} $ તો ચાર બિંદુ $A,\,\,B,\,\,C$ અને $D$ ઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $2i + j, \,\, i - 3j,\,\, 3i + 2j$ અને $i + \lambda\,\,j$ હોય, તો $\lambda$ નું મુલ્ય …..

સંબંધ $R$ એ ગણ $N$ પર $R =\{(a,\, b)\,:\, a=b-2,\, b>6\} $ દ્વારા આપેલ છે.

જો બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ એવી છે કે જેથી $P\left( {{A^c}} \right) = \,0.3,$ $P\left( {{B}} \right) = \,0.4$ અને $P\left( {{AB^c}} \right) = \,0.5,$ થાય તો $P\left[ {\frac{B}{{\left( {A \cup {B^c}} \right)}}} \right]$ ની કિમત મેળવો.

જો $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{1+x-y^2}{y}, x(1)=1$ હોય, તો $5 x(2)=$. . . . . . . . . . .

$\int_{}^{} {\frac{{{x^2} + 1}}{{x({x^2} - 1)}}\;dx} $=

ધારોકે $A(-1,1)$ અને $B(2,3)$ બે બિંદૂઓ છે અને $P$ એ રેખા $A B$ ની ઉપરની બાજુ નું એવુ ચલ બિંદુ છે કે જેથી $\triangle P A B$ નું ક્ષેત્રફળ $10$ થાય. જે $\mathrm{P}$ નો બિંદુપંથ $\mathrm{a} x+\mathrm{b} y=15$ હોય, તો $5 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}=$ ...........

જો $ P(x) = a_0 + a_1x^2 + a_2x^4 + …… + a_nx^{2n} x \in R$ માં $0 < a_1< a_2 < … < a_n$ સાથે બહુપદી હોય તો $P(x) $ પાસે શું હોય ?

જો $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{{(1 + \tan x)}^{\frac{1}{x}}} - e}}{x};x \ne 0}\\
{k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x \ne 0}
\end{array}} \right.$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તો $k$ મેળવો.