જો $a, b, c$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને જો સમીકરણો $(a - 1 )x = y + z,$ $(b - 1 )y = z + x ,$ $(c - 1 )z= x + y,$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તો $ab + bc + ca$ ની કિમત મેળવો.
JEE MAIN 2014, Difficult
Download our app for free and get started
Given system of equationa be written as
$\left( {a - 1} \right)x - y - z = 0$
$ - x + \left( {b - 1} \right)y - z = 0$
$ - x - y + \left( {c - 1} \right)z = 0$
For non-trivial solution, we have
$\begin{array}{*{20}{c}}
{a - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{b - 1}&{ - 1}\\
{ - 1}&{ - 1}&{c - 1}
\end{array} = 0$
${R_2} \to {R_2} - {R_3}$
$\begin{array}{*{20}{c}}
{a - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\
0&b&{ - c}\\
{ - 1}&{ - 1}&{c - 1}
\end{array} = 0$
${C_2} \to {C_2} - {C_3}$
$\begin{array}{*{20}{c}}
{a - 1}&0&{ - 1}\\
0&{b + c}&{ - c}\\
{ - 1}&{ - c}&{c - 1}
\end{array} = 0$
Apply, ${R_3} \to {R_3} - {R_1}$
$\begin{array}{*{20}{c}}
{a - 1}&0&{ - 1}\\
0&{b + c}&{ - c}\\
{ - 1}&{ - c}&c
\end{array} = 0$
$ \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left[ {bc + {c^2} - {c^2}} \right] - 1\left[ {a\left( {b + c} \right)} \right] = 0$
$ \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left[ {bc} \right] - ab - ac = 0$
$ \Rightarrow abc - bc - ab - ac = 0$
$ \Rightarrow ab + bc + ca = abc$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1ધારોકે $A =\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & \alpha\end{array}\right]$ અને $B =\left[\begin{array}{ll}\beta & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \alpha, \beta \in R$. ધારોકે $\alpha_{1}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે કે જે $( A + B )^{2}= A ^{2}+\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ નું સમાધાન કરે છે અને $\alpha_{2}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે કે જે $( A + B )^{2}= B ^{2}$ નું સમાઘાન કરે છે. તો $\left|\alpha_{1}-\alpha_{2}\right|=$View Solution
- 2$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right| = $View Solution
- 3$a$ ની $. . .$ કિમત માટે સમીકરણની સંહતિ ${a^3}x + {(a + 1)^3}y + {(a + 2)^3}z = 0, ax + (a + 1)y + (a + 2)z = 0, x + y + z = 0,$ નો ઉકેલ ખાલીગણ મળે.View Solution
- 4${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&{10}\end{array}} \right]^{ - 1}} = $View Solution
- 5ધારો કે શ્રેણિક $A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ અને શ્રેણિક $B_{0}=A^{49}+2 A^{98}$ છે. જો પ્રત્યેક $n \geq 1$ માટે, $B_{n}=A d j\left(B_{n-1}\right)$ હોય, તો $\operatorname{det}\left(B_{4}\right)=$ .................View Solution
- 6જો શ્રેણિક $A =\left[\begin{array}{cc}1 & -\alpha \\ \alpha & \beta\end{array}\right],$ માટે, $AA ^{ T }= I _{2}$હોય, તો $\alpha^{4}+\beta^{4}$ નું મૂલ્ય ....... થાય.View Solution
- 7$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 3}\\2&4\end{array}} \right]$ અને $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{ - 4}\\3&6\end{array}} \right],$ તો $A - B = $View Solution
- 8શ્રેણિક $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}View Solution
0&{2x}&{2x}\\
{2y}&y&{ - y}\\
1&{ - 1}&1
\end{array}} \right];\,\left( {x,y \in R,\,x \ne y} \right)$ ની કેટલી સંખ્યા મળે કે જેથી ${A^T}A = 3{I_3}$ થાય . - 9જો $A = [a\,\,b],B = [ - b - a]$ અને $C = \left[ \begin{array}{l}\,\,\,\,a\\ - a\end{array} \right]$, તો આપેલ પૈકી કયો સંબંધ સત્ય છે ?View Solution
- 10જો $A\, = \,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}View Solution
1&2&x\\
3&{ - 1}&2
\end{array}} \right]$ અને $B\, = \,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
y\\
x\\
1
\end{array}} \right]$ છે કે જેથી $AB\, = \,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
6\\
8
\end{array}} \right],$ તો