જો $A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ હોય તો $\operatorname{det}\left( A ^{4}\right)+\operatorname{det}\left( A ^{10}-(\operatorname{Adj}(2 A ))^{10}\right)$ ની કિમંત મેળવો.
JEE MAIN 2021, Difficult
Download our app for free and get started
$2 A$ adj $(2 A )=|2 A | I$
$\Rightarrow A$ adj $(2 A )=-4 I$ $......(I)$
Now, $E =\left| A ^{4}\right|+\mid A ^{10}-(\operatorname{adj}(2 A ))^{10}$
$=(-2)^{4}+\frac{\left| A ^{20}- A ^{10}(\operatorname{adj} 2 A )^{10}\right|}{| A |^{10}}$
$=16+\frac{\left| A ^{20}-(\operatorname{Aadj}(2 A ))^{10}\right|}{| A |^{10}}$
$=16+\frac{\left| A ^{20}-2^{10} I \right|}{2^{10}}$ (from
Now, characteristic roots of $A$ are $2$ and $-1 .$
So, characteristic roots of $A ^{20}$ are $2^{10}$ and $1$. Hence, $\left( A ^{20}-2^{10} I \right)\left( A ^{20}- I \right)=0$
$\Rightarrow\left| A ^{20}-2^{10} I \right|=0\left(\right.$ as $\left. A ^{20} \neq I \right)$
$\Rightarrow E =16$ Ans.
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\1&4&9\\1&8&{27}\end{array}} \right]$, તો $|adj\,\,A|= . .. .$View Solution
- 2શ્રેણિક $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2\theta }&{ - \sin 2\theta }\\{\sin 2\theta }&{\cos 2\theta }\end{array}} \right]$ નો વ્યસ્ત મેળવો.View Solution
- 3જો ચોરસ શ્રેણિક $A$ અને $B$ ની કક્ષા $3$ છે કે જેથી $AB = A$ અને $BA = B$ અને શ્રેણિક $X$,$Y$ અને $Z$ ને $(X = A^4 + B^4)$, $Y$ = $A^{10}+ B^{10},$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય તો $X -Y$ મેળવો.View Solution
- 4જો $a, b, c $ એ દરેક એકબીજાથી ભિન્ન હોય અને $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^3}}&{{a^4} - 1}\\b&{{b^3}}&{{b^4} - 1}\\c&{{c^3}}&{{c^4} - 1}\end{array}\,} \right|=0$ , તો $abc(ab + bc + ca)$ =View Solution
- 5નીચેના સમીકરણમાંથી $a, b, c$ અને $d$ નાં મૂલ્ય શોધો :View Solution
$\left[\begin{array}{cc}
2 a+b & a-2 b \\
5 c-d & 4 c+3 d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
11 & 24
\end{array}\right]$ - 6કોઈ પણ વાસ્તવિક કિમત $x$ એ $ - 1 < x < 1,$ માટે $A(x)\,=\, {(1 - x)^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - x}\\{ - x}&1\end{array}} \right]$ અને $z = \frac{{x + y}}{{1 + xy}}$ તોView Solution
- 7શ્રેણીક $A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$, કે જ્યાં $a , b, c, d \in\{-1,0,1,2,3, \ldots \ldots, 10\}$, કે જેથી $A=A^{-1}$ થાય તેવા શ્રેણીકોની સંખ્યા મેળવોView Solution
- 8શ્રેણિક $A =\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta\end{array}\right]$,કે જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રણ ભિન્ન પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. જો $\frac{\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}}=2^{32} \times 3^{16}$ હોય તો ત્રીજોડ $(\alpha, \beta, \gamma)$ ની સંખ્યા $.....$ થાય.View Solution
- 9જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&1\\2&1&0\\3&2&1\end{array}} \right] $ તો $\det A$=View Solution
- 10ધારો કે $A=I_2-2 M^T$, જ્યાં $M$ એ $2 \times 1$ કક્ષાનો એવો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જેથી $M^T M=I_1$ નું પાલન થાય. ને $\lambda$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા હોય કે જેથી કોઈ $2 \times 1$ કક્ષાના શૂન્યેતર વાસ્તવિક શ્રેણિક $X$ માટે સંબંધ $A X=\lambda X$ નું પાલન થાય, તો $\lambda$ ની શક્ય તમામ કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો___________છે.View Solution