(c) $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}\,} \right| = a(bc - {a^2}) - b({b^2} - ca) + c(ab - {c^2})$
= $ - {a^3} - {b^3} - {c^3} + 3abc$ = $ - 1\,[{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc]$
= $ - [(a + b + c)\,({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca)]$
==> $k = - 1$.