Question
क्या f(x) = |x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है?
✓
Answer
f को हम ऐसे लिख सकते हैं कि 
हम जानते हैं कि x = 0 पर f संतत है।
मान लीजिए कि c एक वास्तविक संख्या इस प्रकार है कि c < 0 है। अतएव f(c) = - c
साथ ही
$\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ (- x) = - c
चूँकि $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = f(c), इसलिए f सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
अब मान लीजिए कि c एक वास्तविक संख्या इस प्रकार है कि c > 0 है। अतएव f(c) = c
साथ ही $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c} $ x = c
क्योंकि $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = f(c), इसलिए f सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है। चूँकि f सभी बिंदुओं पर संतत है, अतः यह एक संतत फलन है।
हम जानते हैं कि x = 0 पर f संतत है।
मान लीजिए कि c एक वास्तविक संख्या इस प्रकार है कि c < 0 है। अतएव f(c) = - c
साथ ही
$\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ (- x) = - c
चूँकि $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = f(c), इसलिए f सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
अब मान लीजिए कि c एक वास्तविक संख्या इस प्रकार है कि c > 0 है। अतएव f(c) = c
साथ ही $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c} $ x = c
क्योंकि $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = f(c), इसलिए f सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है। चूँकि f सभी बिंदुओं पर संतत है, अतः यह एक संतत फलन है।
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