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STD 12 - 6. Application of derivatives — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 6. Application of derivatives4 Marks
Question
माना कि $|M|$ एक वर्ग आव्यूह (square matrix) $M$ के सारणिक (determinant) को निरूपित करता है। माना कि फलन (function) $g :\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ को

$g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$

द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ

$f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$.

है। माना कि $p (x)$ एक ऐसा द्विघातीय बहुपद (quadratic polynomial) है जिसके मूल (roots) फलन $g (\theta)$ के निम्नतम (minimum) एवं उच्चतम (maximum) मान है एवं $p (2)=2-\sqrt{2}$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

$(A)$ $p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right)<0$

$(B)$ $p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$

$(C)$ $p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$

$(D)$ $p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right)<0$

✓

Answer

a
$\begin{array}{c}f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left[\left.\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e \frac{\pi}{4} & \tan \pi\end{array} \right\rvert\,\right. \\ f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}2 & \sin \theta & 1 \\ 0 & 1 & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}0 & -\sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & 0 & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ -\tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) & 0\end{array}\right|\end{array}$

$f(\theta)=\left(1+\sin ^2 \theta\right)+0 \text { (skew symmetric) }$

$g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$

$=|\sin \theta|+|\cos \theta| \quad \text { for } \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

$g(\theta) \in[1, \sqrt{2}]$

Again let $P ( x )= k ( x -\sqrt{2})( x -1)$

$2-\sqrt{2}=k(2-\sqrt{2})(2-1)$

$\Rightarrow k=1 \quad(P(2)=2-\sqrt{2} \text { given })$

$\therefore P(x)=(x-\sqrt{2})_{(x-1)}$

for option (A) $P \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right)<0$ correct option (B) $P \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)<0$ incorrect option (C) $P \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$ correct option (D) $P \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right)>0$ incorrect

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