Question
$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \beta } \left[ {\frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}} \right] = $
✓
Answer
d
(d) $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}$
(d) $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}$
$L- $ हॉस्पीटल नियम से,
$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{2\sin \,\alpha \,\,\cos \alpha }}{{2\alpha }} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{\sin \,\,2\alpha }}{{2\alpha }} = \frac{{\sin \,\,2\beta }}{{2\beta }}$.
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अंकों $0,1,2,3,4,5$ को प्रयोग करके (जहाँ अंकों को दोहराया जा सकता है) बनाई जा सकने वाली चार अंकों की संख्याओं, जो $4321$ से अधिक (strictly greater) हो, की संख्या है
→माना कि $\omega \neq 1$ एकक का घनमूल (a cube root of unity) है। तब समुच्चय (set)
→$\left\{\left| a + b \omega+ c \omega^2\right|^2: a , b , c\right.$ भिन्न अशून्य पूर्णांक (distinct non-zero integers) हैं का निम्रतम (minimum) बराबर. . . .
मान लीजिए कि $f_1:(0, \infty) \rightarrow R$ और $f_2:(0, \infty) \rightarrow R$
→$f_1(x)=\int_0^x \prod_{j=1}^{21}( t - j )^{ j } dt , x >0$
और
$f_2(x)=98(x-1)^{50}-600(x-1)^{39}+2450, x>0,$
द्वारा परिभाषित है, जहां किसी भी धन पूर्णाक (positive integer) $n$ और वास्तविक संख्याओं $a _1, a _2, \ldots, a _{ n }$ के लिए, $\prod_{i=1}^{ n } a _i a _1, a _2, \ldots, a _{ n }$ के गुणनफल को निरूपित करता है। मान लीजिए कि $m _i$ और $n _i$, क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1,2$, के स्थानीय न्यूनतम (local minima) बिन्दुओं की संख्या और स्थानीय अधिकतम (local maxima) बिन्दुओं की संख्या को निरूपित करते है।
($2$) $2 m _1+3 n _1+ m _1 n _1$ का मान . . . . .है।
($2$) $6 m _2+4 n _2+8 m _2 n _2$ का मान . . . . .है।
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
फलन $f(x) = \frac{x}{{4 + x + {x^2}}}$ का, अन्तराल $[ - 1,\,1]$ में अधिकतम मान है
→यदि ${\left( {\sqrt[3]{{\frac{a}{{\sqrt b }}}} + \sqrt {\frac{b}{{\sqrt[3]{a}}}} } \right)^{21}}$ के प्रसार में $(r + 1)$ वें पद में $a$ तथा $b$ की समान घातें हैं, तब $r$ का मान है
→किसी समान्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद $3n - 1$ है, तो इसके प्रथम पाँच पदों का योगफल होगा
→यदि $A$ कोटि $2 \times 2$ के वास्तविक आव्यूह है, और $|A| \neq 0$ जहाँ प्रविष्टियाँ $\{0,1\}$ से लिया गया है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
→$(P)$ यदि $A \neq I_{2}$, तो $|A|=-1$ $(Q)$ यदि $|A|=1$, तो $\operatorname{tr}(A)=2$,
जहाँ $I_{2}$ कोटि $2 \times 2$ के तत्समक आव्यूह को दर्शाता है और $\operatorname{tr}(A) A$ के विकर्ण प्रविष्टियों के योग को दर्शाता है। तो
यदि $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{2^{1/x}},\,\;\,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,3,\,\,\;x = {\rm{0}}\end{array} \right.$, तो
→दिये चित्र, $y = a{x^2} + bx + c$ का ग्राफ प्रदर्शित करता है, तब
→यदि समीकरण $x^2+2 x+6=0$ का एक शून्यक $r$ हो तो, व्यंजक $(r+2)(r+3)(r+4)(r+5)$ का मान होगा :
→