_ n [ 2n! n! n^n ]^ 1/n = .......... - Vidyadip

MCQ

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {\frac{{2n!}}{{n!{n^n}}}} \right]^{1/n}} =\ ..........$

A
$4e$
B
$e/4$
✓
$4/e$
D
એક પણ નહીં.

✓

Answer

Correct option: C.

$4/e$

$y=\lim_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{(2n)(2n-1) ........ [2n(n-1)n!]}{n.n ....... (n)n!}\right]^{1/n}$
$\log \ y=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{r=0}^{n-1}\frac{1}{n}[\log \ \frac{2n-r}{n}]$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{r=0}^{n-1}\frac{1}{n}[\log \ (2-\frac{r}{n})]$
$\therefore \log \ y=\int_{0}^{1} \ \log(2-x)dx$
$=[x \log(2-x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{-x}{2-x}dx$
$=0-\int_{0}^{1}(1-\frac{2}{2-x})dx$
$=[-x-2 \ \log(2-x)]_{0}^{1}$
$=-1+\log \ 4$
$\log \ y/4=-1 $
$\Rightarrow y=4e^{-1}=4/e$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો રેખાઓ $\frac{x\,\,-\,\,1}{2}\,\,=\,\,\frac{y\,\,+\ \,1}{3}\,\,=\,\,\frac{z\,\,-\,\,1}{4}$ અને $\frac{x\,\,-\,\,3}{1}\,\,=\,\,\frac{y\,\,-\,\,k}{2}\,\,=\,\,\frac{z}{1}\,$ છેદે, તો $k$ ની કિમંત મેળવો.

$\int_{\,1}^{\,x} {\frac{{\log {x^2}}}{x}\,dx = } $

સુરેખ સમીકરણ સંહતિ

$7 x+11 y+\alpha z=13$

$5 x+4 y+7 z=\beta$

$175 x+194 y+57 z=361$

ને અસંખ્ય ઉકેલો હોય,તો $\alpha+\beta+2=..............$

જો $f(x) = {x^2} - 2x + 4$ અને $\frac{{f(5) - f(1)}}{{5 - 1}} = f'(c)$ તો $c$ ની કિમત મેળવો.

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+e^{x}\left(x^{2}-2\right) y=\left(x^{2}-2 x\right)\left(x^{2}-2\right) e^{2 x}$ નો ઉકેલ $y(0)=0$ નું સમાધાન કરે,તો $y(2)$ નું મૂલ્ય$\dots\dots\dots$છે.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $\left(4+x^{2}\right) d y-2 x\left(x^{2}+3 y+4\right) d x=0$ નો ઉકેલ વક્ર $y=y(x)$ એ ઉગમબિંદુ માંથી પસાર થાય છે.તો $y(2)=\dots\dots\dots$

જો સદિશો $i - 2xj - 3yk$ અને $i + 3xj + 2y k $ એકબીજાને લંબ હોય, તો બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ મેળવો.

દ્વિપદી વિતરણમાં મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે ચાર અને બે છે.જો બે સફળતા મળે તેની સંભાવના મેળવો.

શ્રેણિક $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&1&4\\0&1&2&{ - 1}\\0&{ - 2}&{ - 4}&2\end{array}} \right]$ નો રેન્ક મેળવો.

દર્શાવો કે રેખાઓ $\,\vec r .\,\,\left( {\hat i\,\, + \,2\hat j\,\, + 2\,\hat k} \right)\,\, = \,19\,$ અને $\vec r .\,\left( {4\hat i\,\, - 3\hat j\,\, + \;12\,\hat k\,} \right)\,\, + \,\,3\,\, = \,\,0$ સમતલીય છે આ બે રેખાઓ સાથે સંકળાયેલું સમતલ પર શોધો.