Question
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{{{(1 + x)}^{1/x}} - e}}{x} =$
$ = {e^{\frac{1}{x}\,\left( {x\, - \,\frac{{{x^2}}}{2}\, + \,\frac{{{x^3}}}{3}\, - \,\frac{{{x^4}}}{4}\, + ....} \right)}}$$ = {e^{\left( {1\, - \,\frac{x}{2}\, + \,\frac{{{x^2}}}{3}\, - \,\frac{{{x^3}}}{4}\, + \,....} \right)}}$
$ = e.{e^{\left( {\, - \,\frac{x}{2}\, + \,\frac{{{x^2}}}{3}\, - \,\frac{{{x^3}}}{4} + ....} \right)}}$
$ = e\left[ {\frac{{\left( { - \frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{x^3}}}{4} + ...} \right)}}{{1!}} + \frac{{{{\left( { - \frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{x^3}}}{4} + ...} \right)}^2}}}{{2!}} + ...} \right]$
$ = \left[ {e - \frac{{ex}}{2} + \frac{{11e}}{{24}}{x^2} + ... + ...} \right]$
$\therefore$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/x}} - e}}{x}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\left[ {\frac{{e - \frac{{ex}}{2} - \frac{{11e}}{{24}}{x^2} + ...e}}{x}} \right]$
==> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\left( { - \frac{e}{2} - \frac{{11e}}{{24}}x + ...} \right)$$ = - \frac{e}{2}$.
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$I$. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n+(-2)^n}{2^n}$ अस्तित्व में नहीं है
$II$. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+(-3)^n}{4^n}$ अस्तित्व में नहीं है तब
$l_{1}: \overrightarrow{ r }=(3+ t ) \hat{ i }+(-1+2 t ) \hat{ j }+(4+2 t ) \hat{ k }$
$l_{2}: \overrightarrow{ r }=(3+2 s ) \hat{ i }+(3+2 s ) \hat{ j }+(2+ s ) \hat{ k }$
पर लम्बवत है। यदि ' $l_{2}$ ' पर प्रथम अष्टांशक में एक बिन्दु $( a , b , c )$ की ' $l$ ' तथा ' $l{ }_{1}$ ' के प्रतिच्छेदन बिन्दु से दूरी $\sqrt{17}$ है, तो $18( a + b + c )$ बराबर है