Question
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}} =$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{{a^x} - 1}}{x} - \frac{{{b^x} - 1}}{x}} \right]\frac{x}{{{e^x} - 1}}$
$ = ({\log _e}a - {\log _e}b).\frac{1}{{{{\log }_e}e}}$$ = {\log _e}\left( {\frac{a}{b}} \right)$
ट्रिक : $ L- $ हॉस्पीटल नियम का प्रयोग करें।
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$f_1(x)=\left\{\begin{array}{lll}|x| & \text { if } & x<0, \\ e^x & \text { if } & x \geq 0 ;\end{array}\right.$
$f_2(x)=x^2$
$f_3(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\sin x & \text { if } & x < 0, \\ x & \text { if } & x \geq 0\end{array}\right.$ and
$f_4(x)=\left\{\begin{array}{ccc}f_2\left(f_1(x)\right) & \text { if } & x < 0, \\ f_2\left(f_1(x)\right)-1 & \text { if } & x \geq 0\end{array}\right.$
| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $P.$ $ f_4$ is | $1.$ आच्छादक (onto) है परन्तु एकैकी (one-one) नहीं है। |
| $Q.$ $f_3$ is | $2.$ न संतत (continuous) है न ही एकैकी है। |
| $R.$ $f _2 \circ f _1$ is | $3.$ अवकलनीय (differentiable) है परन्तु एकैकी नहीं है। |
| $S.$ $ f_2$ is | $4.$ cसंतत (continuous) और एकैकी है। |
Codes: $ \quad P \quad Q \quad R \quad S $