_ x 0 [ e^x - e^ x x - x ] = - Vidyadip

Question

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{{e^x} - {e^{\sin x}}}}{{x - \sin x}}} \right] = $

✓

Answer

c
(c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{{e^x} - {e^{\sin x}}}}{{x - \sin x}}} \right]$, $\left( {\frac{0}{0}} \right)$ से

[$L-$ हॉस्पीटल नियम का $3$ बार उपयोग करने पर]

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{\sin x}}.\cos x}}{{1 - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{\sin x}}{{\cos }^2}x + \sin x.{e^{\sin x}}}}{{\sin x}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{\sin x}}.{{\cos }^3}x + {e^{\sin x}}2\cos x\sin x + {e^{\sin x}}.\cos x\sin x + {e^{\sin x}}.\cos x}}{{\cos x}}$

$ = 1$.

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