_ x , ( x^2 + 5x + 3 x^2 + x + 3 )^x = - Vidyadip

MCQ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{\left( {\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^x}$=

✓
${e^4}$
B
${e^2}$
C
${e^3}$
D
$e$

✓

Answer

Correct option: A.

${e^4}$

(a) $\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}} = 1 + \frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} = 1 + y$ (say)
where $y = \frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} = \frac{{\frac{4}{x}}}{{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 0$ as $x \to \infty $
Also, $xy = \frac{{4{x^2}}}{{{x^2} + x + 3}} = \frac{4}{{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 4$ as $x \to \infty $
$\therefore$ limit $ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {(1 + y)^x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {[{(1 + y)^{1/y}}]^{\,xy}} = {e^{xy}} = {e^4}$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 12. limits→12. limits — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $3 sin 2\theta = 2 sin 3\theta$ અને $0 < \theta < \pi,$ તો$sin \theta =$ ..............

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $\alpha+\beta=1$ અને $\alpha \beta=-1 .$ જો કોઈક પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે ધારો કે $p _{ n }=(\alpha)^{ n }+(\beta)^{ n },p _{ n -1}=11$ અને $p _{ n +1}=29$ હોય, તો $p _{ n }^{2}$ નું મૂલ્ય .... થાય.

જો $\cos 2B = \frac{{\cos (A + C)}}{{\cos (A - C)}}$, તો $\tan A,\;\tan B,\;\tan C$ એ . . . શ્રેણીમાં છે.

જો ${S_k} = \frac{{1 + 2 + 3 + .... + k}}{k}$ અને $S_1^2 + S_2^2 + ....... + S_{10}^2 = \frac{5}{{12}}A$ હોય તો $A$ ની કિમત મેળવો.

જો $A\left( 0,2 \right)$ અને $B\left( a,0 \right)$ એ રેખા $2x+3y=5$ ને લંબરેખા પર આવેલા હોય, તો $a$ ની કિંમત $............$ થાય

જો $\lambda \in R$ એવો મળે કે જેથી દ્રીઘાત સમીકરણ $x^2 +(2 - \lambda ) x+ (10 - \lambda ) = 0$ ના ઉકેલોના ઘનનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય તો બંને ઉકેલોના તફાવતનો માનાંક મેળવો.

જો $2$ અને $6$ એ સમીકરણ $\mathrm{a} x^2+\mathrm{b} x+1=0$ ના બીજ હોય, તો જેના બીજ $\frac{1}{2 \mathrm{a}+\mathrm{b}}$ તથા $\frac{1}{6 \mathrm{a}+\mathrm{b}}$, હોય, તેવું દ્રીધાત સમીક૨ણ .......... છે.

એક સિક્કાને $7$ વખત ઉછાડતા દરેક વખતે વ્યક્તિ છાપ કહે છે તે વધારે વખત ટોસ જીતવાની સંભાવના કેટલી થાય ?

જો $\sin x + \cos x = \frac{1}{5},$ તો $\tan 2x = . . .$

$\lim _{h \rightarrow 0} 2\left\{\frac{\sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6}+h\right)-\cos \left(\frac{\pi}{6}+h\right)}{\sqrt{3} h(\sqrt{3} \cosh -\sinh )}\right\}$ નું મૂલ્ય ......... છે.