_ x , ( x^2 + 5x + 3 x^2 + x + 3 )^x = - Vidyadip

Question

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{\left( {\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^x}$=

✓

Answer

a
(a) $\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}} = 1 + \frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} = 1 + y$ (माना)
जहाँ $y = \frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} = \frac{{\frac{4}{x}}}{{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 0$ जब $x \to \infty $
पुन: $xy = \frac{{4{x^2}}}{{{x^2} + x + 3}} = \frac{4}{{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 4$ जब $x \to \infty $
$\therefore$ सीमा $ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {(1 + y)^x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {[{(1 + y)^{1/y}}]^{\,xy}} = {e^{xy}} = {e^4}$.

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