निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x$
Exercise-7.9-13
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माना $I=\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x$
$x^2 + 1 = t$ रखने पर, $\Rightarrow 2x =\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore I=\int_{2}^{3} \frac{x}{t} \frac{d t}{2 x}=\frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{t} d t =\frac{1}{2}[\log |t|]_{2}^{3}=\frac{1}{2}\left[\log \left|x^{2}+1\right|\right]_{2}^{3} (\because t = x^2 + 1)$
$=\frac{1}{2} = [\log |3^2 + 1| − \log |2^2 + 1|]$
$=\frac{1}{2}[\log |10|-\log |5|] =\frac{1}{2} \log \left|\frac{10}{5}\right|=\frac{1}{2} \log 2 (\because \log a - \log b = \log \frac{a}{b})$
$x^2 + 1 = t$ रखने पर, $\Rightarrow 2x =\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore I=\int_{2}^{3} \frac{x}{t} \frac{d t}{2 x}=\frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{t} d t =\frac{1}{2}[\log |t|]_{2}^{3}=\frac{1}{2}\left[\log \left|x^{2}+1\right|\right]_{2}^{3} (\because t = x^2 + 1)$
$=\frac{1}{2} = [\log |3^2 + 1| − \log |2^2 + 1|]$
$=\frac{1}{2}[\log |10|-\log |5|] =\frac{1}{2} \log \left|\frac{10}{5}\right|=\frac{1}{2} \log 2 (\because \log a - \log b = \log \frac{a}{b})$
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