p और q के किन मानों के लिए समीकरण-युग्म
4x + 5y = 2;
(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
4x + 5y = 2;
(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
example-3.3-1
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यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{4}{2 p+7 q}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{p+8 q}$
और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
किसी समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ होता है।
अत:, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$
इसलिए, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}$ और $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
अर्थात्, 4p + 32q = 10p + 35q और 8q - 4p + 4 = 4p + 14q है।
अर्थात्, 6p + 3q = 0 और 8p + 6q = 4,
अर्थात, q = -2p ... (i) और 4p + 3q = 2 ... (ii)
समीकरण (i) से प्राप्त q के मान को समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
4p - 6p = 2
या p = -1
p के इस मान को समीकरण (i) में रखने (प्रतिस्थापित करने) पर, हमें प्राप्त होता है: q = 2
अतः, p = -1, q = 2 के लिए, दिए हुए समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{p+8 q}$
और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
किसी समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ होता है।
अत:, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$
इसलिए, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}$ और $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
अर्थात्, 4p + 32q = 10p + 35q और 8q - 4p + 4 = 4p + 14q है।
अर्थात्, 6p + 3q = 0 और 8p + 6q = 4,
अर्थात, q = -2p ... (i) और 4p + 3q = 2 ... (ii)
समीकरण (i) से प्राप्त q के मान को समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
4p - 6p = 2
या p = -1
p के इस मान को समीकरण (i) में रखने (प्रतिस्थापित करने) पर, हमें प्राप्त होता है: q = 2
अतः, p = -1, q = 2 के लिए, दिए हुए समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
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