परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{2 x-3}{\left(x^{2}-1\right)(2 x+3)}$
Exercise-7.5-10
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$\int \frac{2 x-3}{\left(x^{2}-1\right)(2 x+3)} d x =\int \frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)(2 x+3)} d x$
माना $\frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)(2 x+3)} =\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(2 x+3)}$
$\Rightarrow \frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)(2 x+3)} =\frac{A(2 x+3)(x+1)+B(x-1)(2 x+3)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(2 x+3)}$
$\Rightarrow 2x - 3 = A(2x^2 + 3x + 2x + 3) + B(2x^2 - 2x + 3x - 3) + C (x^2- 1)$
$\Rightarrow 2x - 3 = x^{2 }(2A + 2B + C) + x (5A + B) + (3A - 3B - C)$
दोनों पक्षों में $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों की तुलना करने पर,
$2A + 2B + C = 0 ...(i)$
$5A + B = 2$
$\Rightarrow B = 2 - 5A ...(ii)$
और $3A - 3B - C = -3 ...(iii)$
समी $(i)$ और $(iii)$ में $B$ का मान रखने पर,
$2A + 2(2 - 5A) + C = 0 $
$\Rightarrow 2A + 4 - 10A + C = 0$
$\Rightarrow - 8A + C = -4 ...(iv)$
और $3A - 3(2 - 5A) - C = - 3$
$\Rightarrow 3A - 6 + 15A - C = -3$
$\Rightarrow 18A - C = 3 ...(v)$
समी $(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर,
$10 A = −1 \Rightarrow A=\frac{-1}{10}$
समी $(ii)$ में $A$ का मान रखने पर,
$B=2-5\left(-\frac{1}{10}\right)$
$ \Rightarrow B=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
समी $(i)$ में $A$ और $B$ का मान रखने पर,
$2\left(-\frac{1}{10}\right)+2\left(\frac{5}{2}\right)+C =0 $
$\Rightarrow-\frac{1}{5} + 5 + C = 0 $
$\Rightarrow C=-\frac{24}{5}$
$\therefore A = -\frac{1}{10}, B = \frac{5}{2}$ तथा $C = -\frac{24}{5}$
$\therefore \int \frac{2 x-3}{\left(x^{2}-1\right)(2 x+3)} d x =\int \frac{(-1)}{10(x-1)} d x +\frac{5}{2} \int \frac{1}{x+1} d x -\frac{24}{5} \int \frac{1}{2 x+3} d x$
$=-\frac{1}{10} \log |x-1|+\frac{5}{2} \log |x+1|-\frac{24}{5} \frac{\log |2 x+3|}{2}+C$
$=\frac{5}{2} \log |x+1|-\frac{1}{10} \log |x-1| -\frac{12}{5} \log |2 x+3|+C$
माना $\frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)(2 x+3)} =\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(2 x+3)}$
$\Rightarrow \frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)(2 x+3)} =\frac{A(2 x+3)(x+1)+B(x-1)(2 x+3)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(2 x+3)}$
$\Rightarrow 2x - 3 = A(2x^2 + 3x + 2x + 3) + B(2x^2 - 2x + 3x - 3) + C (x^2- 1)$
$\Rightarrow 2x - 3 = x^{2 }(2A + 2B + C) + x (5A + B) + (3A - 3B - C)$
दोनों पक्षों में $x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों की तुलना करने पर,
$2A + 2B + C = 0 ...(i)$
$5A + B = 2$
$\Rightarrow B = 2 - 5A ...(ii)$
और $3A - 3B - C = -3 ...(iii)$
समी $(i)$ और $(iii)$ में $B$ का मान रखने पर,
$2A + 2(2 - 5A) + C = 0 $
$\Rightarrow 2A + 4 - 10A + C = 0$
$\Rightarrow - 8A + C = -4 ...(iv)$
और $3A - 3(2 - 5A) - C = - 3$
$\Rightarrow 3A - 6 + 15A - C = -3$
$\Rightarrow 18A - C = 3 ...(v)$
समी $(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर,
$10 A = −1 \Rightarrow A=\frac{-1}{10}$
समी $(ii)$ में $A$ का मान रखने पर,
$B=2-5\left(-\frac{1}{10}\right)$
$ \Rightarrow B=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
समी $(i)$ में $A$ और $B$ का मान रखने पर,
$2\left(-\frac{1}{10}\right)+2\left(\frac{5}{2}\right)+C =0 $
$\Rightarrow-\frac{1}{5} + 5 + C = 0 $
$\Rightarrow C=-\frac{24}{5}$
$\therefore A = -\frac{1}{10}, B = \frac{5}{2}$ तथा $C = -\frac{24}{5}$
$\therefore \int \frac{2 x-3}{\left(x^{2}-1\right)(2 x+3)} d x =\int \frac{(-1)}{10(x-1)} d x +\frac{5}{2} \int \frac{1}{x+1} d x -\frac{24}{5} \int \frac{1}{2 x+3} d x$
$=-\frac{1}{10} \log |x-1|+\frac{5}{2} \log |x+1|-\frac{24}{5} \frac{\log |2 x+3|}{2}+C$
$=\frac{5}{2} \log |x+1|-\frac{1}{10} \log |x-1| -\frac{12}{5} \log |2 x+3|+C$
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