परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)}$
Exercise-7.5-18
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यहाँ, अंश और हर की घात $4$ है।
इसलिए हम $x^{2 }= t$ रखकर इसे सामान्य रूप में बदलेंगे
$\frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} $
$=\frac{(t+1)(t+2)}{(t+3)(t+4)} =\frac{t^{2}+3 t+2}{t^{2}+7 t+12}$
चूँकि अंश और हर की घात समान है। अतः यह इस प्रकार लिखा जा सकता है
$1-\frac{4 t+10}{t^{2}+7 t+12}$
अब$, \int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x $
$=\int 1 d x-\int \frac{(4 t+10)}{t^{2}+7 t+12} d x$
$=\int 1 d x-\int \frac{4 t+10}{(t+3)(t+4)} d x ...(i)$
माना $\frac{4 t+10}{(t+4)(t+3)}=\frac{A}{(t+4)} +\frac{B}{(t+3)} $
$\Rightarrow \frac{4 t+10}{(t+3)(t+4)} =\frac{A(t+3)+B(t+4)}{(t+4)(t+3)}$
$\Rightarrow 4t + 10 = At + 3A + Bt + 4B $
$\Rightarrow 4t + 10 = t(A + B) + (3A + 4B)$
दोनों पक्षों में $t$ तथा अचर राशि के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B = 4 $
$\Rightarrow 3A + 3B = 12$
और $3A + 4B = 10$
समी $(ii)$ में से समी $(iii)$ को घटाने पर,
$-B = 2 $
$\Rightarrow B = -2$ तथा $A = 6$
$\therefore \frac{4 t+10}{(t+4)(t+3)} =\frac{6}{t+4}-\frac{2}{t+3}$
यह मान समी $(i)$ मे रखने पर,
$\int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x =\int 1 d x-\int\left(\frac{6}{t+4}-\frac{2}{t+3}\right) dx$
$=\int 1 d x-\int\left[\frac{6}{\left(x^{2}+4\right)}-\frac{2}{\left(x^{2}+3\right)}\right] dx (t = x^2$ रखने पर$)$
$\Rightarrow \int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x =\int 1 d x-\int\left[\frac{6}{x^{2}+2^{2}}-\frac{2}{x^{2}+(\sqrt{3})^{2}}\right]dx$
$\Rightarrow \int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x =x-6\left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2}\right) +2\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C (\because \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x =\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a})$
$=x-3 \tan ^{-1} \frac{x}{2} +\frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}} + C$
इसलिए हम $x^{2 }= t$ रखकर इसे सामान्य रूप में बदलेंगे
$\frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} $
$=\frac{(t+1)(t+2)}{(t+3)(t+4)} =\frac{t^{2}+3 t+2}{t^{2}+7 t+12}$
चूँकि अंश और हर की घात समान है। अतः यह इस प्रकार लिखा जा सकता है
$1-\frac{4 t+10}{t^{2}+7 t+12}$
अब$, \int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x $
$=\int 1 d x-\int \frac{(4 t+10)}{t^{2}+7 t+12} d x$
$=\int 1 d x-\int \frac{4 t+10}{(t+3)(t+4)} d x ...(i)$
माना $\frac{4 t+10}{(t+4)(t+3)}=\frac{A}{(t+4)} +\frac{B}{(t+3)} $
$\Rightarrow \frac{4 t+10}{(t+3)(t+4)} =\frac{A(t+3)+B(t+4)}{(t+4)(t+3)}$
$\Rightarrow 4t + 10 = At + 3A + Bt + 4B $
$\Rightarrow 4t + 10 = t(A + B) + (3A + 4B)$
दोनों पक्षों में $t$ तथा अचर राशि के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B = 4 $
$\Rightarrow 3A + 3B = 12$
और $3A + 4B = 10$
समी $(ii)$ में से समी $(iii)$ को घटाने पर,
$-B = 2 $
$\Rightarrow B = -2$ तथा $A = 6$
$\therefore \frac{4 t+10}{(t+4)(t+3)} =\frac{6}{t+4}-\frac{2}{t+3}$
यह मान समी $(i)$ मे रखने पर,
$\int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x =\int 1 d x-\int\left(\frac{6}{t+4}-\frac{2}{t+3}\right) dx$
$=\int 1 d x-\int\left[\frac{6}{\left(x^{2}+4\right)}-\frac{2}{\left(x^{2}+3\right)}\right] dx (t = x^2$ रखने पर$)$
$\Rightarrow \int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x =\int 1 d x-\int\left[\frac{6}{x^{2}+2^{2}}-\frac{2}{x^{2}+(\sqrt{3})^{2}}\right]dx$
$\Rightarrow \int \frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)} d x =x-6\left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2}\right) +2\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C (\because \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x =\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a})$
$=x-3 \tan ^{-1} \frac{x}{2} +\frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}} + C$
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