c
\(\frac{\mathrm{d} \mathrm{N}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}\)

\(\mathrm{d} \mathrm{N}=(\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}) \mathrm{dt}\)

\(\int_{N_{0}}^{N} \frac{d N}{n-\lambda N}=\int_{0}^{t} d t \Rightarrow-\frac{1}{\lambda} \int_{N_{0}}^{N} \frac{-\lambda d N}{n-\lambda N}=t\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{\lambda}\left[\log _{\mathrm{e}}(\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N})\right]_{\mathrm{N}_{0}}^{\mathrm{N}}=\mathrm{t}\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{\lambda}\left[\log _{e}\left(\frac{\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}}{\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}_{0}}\right)\right]=\mathrm{t}\)

\(\Rightarrow \lambda \mathrm{t}=\left[\log _{\mathrm{e}}\left(\frac{\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}_{0}}{\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}}\right)\right]\)

\(e^{\lambda t}=\frac{n-\lambda N_{0}}{n-\lambda N}\)

\(\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}=\left(\mathrm{n}-\lambda \mathrm{N}_{0}\right) \mathrm{e}^{-\lambda \mathrm{t}}\)

\(\frac{\mathrm{n}}{\lambda}-\left(\frac{\mathrm{n}}{\lambda}-\mathrm{N}_{0}\right) \mathrm{e}^{-\lambda \mathrm{t}}=\mathrm{N}\)