Question
सिद्ध कीजिए: $2 \sin^{-1} \frac{3}{5}=\tan ^{-1} \frac{24}{7}$
✓
Answer
ज्ञात है, $2 \sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{24}{7}$
बायाँ पक्ष $= 2 \sin^{-1} \frac{3}{5} = \sin^{-1} \left[2 \times \frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}\right] \left[\because 2 \sin ^{-1} y=\sin ^{-1}\left(2 y \sqrt{1-y^{2}}\right)\right]$
$= \sin^{-1}\left(2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5}\right)^= \sin ^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$
$= \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{24}{25}}{\sqrt{1-\left(\frac{24}{25}\right)^{2}}}\right] \left(\because \sin ^{-1} y=\tan ^{-1} \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{24}{25}}{\sqrt{1-\frac{576}{625}}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{24}{25} \times \frac{25}{7}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) =$ दायाँ पक्ष इति सिद्धम्
बायाँ पक्ष $= 2 \sin^{-1} \frac{3}{5} = \sin^{-1} \left[2 \times \frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}\right] \left[\because 2 \sin ^{-1} y=\sin ^{-1}\left(2 y \sqrt{1-y^{2}}\right)\right]$
$= \sin^{-1}\left(2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5}\right)^= \sin ^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$
$= \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{24}{25}}{\sqrt{1-\left(\frac{24}{25}\right)^{2}}}\right] \left(\because \sin ^{-1} y=\tan ^{-1} \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{24}{25}}{\sqrt{1-\frac{576}{625}}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{24}{25} \times \frac{25}{7}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) =$ दायाँ पक्ष इति सिद्धम्
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