सिद्ध कीजिए _ 0 ^ 2 sin3 x dx = 2 3 - Vidyadip

Question

सिद्ध कीजिए $\int_{0}^{\frac\pi 2} $sin³x dx = $\frac{2}{3}$

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Answer

माना I = $\int_{0}^{\frac\pi 2} $ sin³ x dx = $\int_{0}^{\frac\pi 2} $ sin²x sin x dx
= $\int_{0}^{\frac\pi 2} $(1 - cos² x) sin x dx ($\because$ sin² x = 1 - cos²x)
cos x = t रखने पर,
$\Rightarrow$ -sin x dx = dt
जब x = 0 $\Rightarrow$ t = cos 0 = 1, जब x = $\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ t = cos $\frac{\pi}{2}$ = 0
$\therefore$ I $=\int_{0}^{\frac\pi 2}$ (1 - cos² x) sin x dx = $\int_{1}^{0}$(1 - t²) (-dt)
$=-\left[t-\frac{t^{3}}{3}\right]_{1}^{0}$ $=-\left\{(0-0)-\left(1-\frac{1}{3}\right)\right\}=\frac{2}{3}$

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