Question
सिद्ध कीजिए $\int_{0}^{1} \sin^{-1} x\ dx = \frac{\pi}{2} - 1$
✓
Answer
माना $I = \int_{0}^{1} \sin^{-1} x ~dx = \int_{0}^{1} \sin^{-1} x \cdot 1 dx$
$\sin^{-1} x$ को पहला तथा 1 को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन का नियम लगाने पर,
$I=\left[\left(\sin ^{-1} x\right) x\right]_{0}^{1}$ $-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x $
$1 - x^2 = t$ रखने पर,
$\Rightarrow$ -2x dx = dt
जब x = 0 $\Rightarrow$ t = 1 और जब x = 1 $\Rightarrow$ 0
$\therefore$ $I=\left[x \sin ^{-1} x\right]_{0}^{1}+\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{d t}{\sqrt{t}}$ $=\left[x \sin ^{-1} x\right]_{0}^{1}+\frac{1}{2}\left[\frac{t^{\frac1 2}}{\frac1 2}\right]_{1}^{0}$ $=1 \sin ^{-1}(1)+[-\sqrt{1}]$
$=\frac{\pi}{2} - 1$
$\sin^{-1} x$ को पहला तथा 1 को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन का नियम लगाने पर,
$I=\left[\left(\sin ^{-1} x\right) x\right]_{0}^{1}$ $-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x $
$1 - x^2 = t$ रखने पर,
$\Rightarrow$ -2x dx = dt
जब x = 0 $\Rightarrow$ t = 1 और जब x = 1 $\Rightarrow$ 0
$\therefore$ $I=\left[x \sin ^{-1} x\right]_{0}^{1}+\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{d t}{\sqrt{t}}$ $=\left[x \sin ^{-1} x\right]_{0}^{1}+\frac{1}{2}\left[\frac{t^{\frac1 2}}{\frac1 2}\right]_{1}^{0}$ $=1 \sin ^{-1}(1)+[-\sqrt{1}]$
$=\frac{\pi}{2} - 1$
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