सिद्ध कीजिए कि | ccc a^ 2 & b c & a c+c^ 2 a^ 2 +a b & b^ 2 & a c… - Vidyadip

Question

सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc} a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2} \end{array}\right|$ = 4a²b²c²

✓

Answer

बायाँ पक्ष = $\left|\begin{array}{ccc} a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2} \end{array}\right|$
= abc $ \left|\begin{array}{ccc} a & c & a+c \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c \end{array}\right|$ (C₁ से a₁ C₂ से b तथा C₃ से c उभयनिष्ठ लेने पर)
= abc $\left|\begin{array}{ccc} 0 & c & a+c \\ 2 b & b & a \\ 2 b & b+c & c \end{array}\right| $ (C₁ $\rightarrow$ C₁+ C₂- C₃से)
= abc $\left|\begin{array}{ccc} 0 & c & a+c \\ 0 & -c & a-c \\ 2 b & b+c & c \end{array}\right|$ (R₂ $\rightarrow$ R₂- R₃ से)
C₁ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर, बायाँ पक्ष = (abc) [(2b) {c(a - c) + c(a + c)}]
= 2(ab² c)(2ac) = 4a² b²c²= दायाँ पक्ष

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