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प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question

Madhya Pradesh Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितप्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन3 Marks
Question
सिद्ध कीजिए: $\tan ^{-1} \frac{63}{16}$ = $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ + $\cos ^{-1} \frac{3}{5}$
✓

Answer

ज्ञात है, tan-1$ \frac{63}{16}$ = sin-1 $\frac{5}{13}$ + cos-1 $\frac{3}{5}$
दायाँ पक्ष  = sin-1 $\frac{5}{13}$ + cos-1 $\frac{3}{5}$
मान लीजिए sin-1 $\left(\frac{5}{13}\right)$ = x $ \Rightarrow$ sin x =$\frac{5}{13}$
$\because$ $1-\sin ^{2} x$ = $\cos ^{2} x$ $ \Rightarrow $ $1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}$ = $\cos ^{2} x$
$\Rightarrow$ $\frac{169-25}{169}$ = $\cos ^{2} x $ $\Rightarrow$ $ \frac{144}{169}$ = $\cos ^{2} x $ $\Rightarrow $ $\frac{12}{13}$ = cos x
$\therefore$ tan x = $\frac{\sin x}{\cos x} $ $\Rightarrow $ tan x = $\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}$ = $\frac{5}{12} $ $\Rightarrow $ x = tan-1$\frac{5}{12}$
माना $\cos ^{-1} \frac{3}{5}$ = y $ \Rightarrow $ cos y = $ \frac{3}{5} $
$\because$ $1-\cos ^{2} y$ = $\sin ^{2} y $ $\Rightarrow $1 - $\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$ = $\sin ^{2} y$
$\Rightarrow$ $\frac{25-9}{25}$= $\sin ^{2} y $ $\Rightarrow $ $\frac{16}{25}$ = $\sin ^{2} y $ $\Rightarrow \frac{4}{5}$ = sin y
$\therefore$ tan y = $\frac{\sin y}{\cos y} $ $\Rightarrow $ tan y = $\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$ = $\frac{4}{3} $ $\Rightarrow $ y = $\tan ^{-1} \frac{4}{3}$
अत: ज्ञात समीकरण का प्रारूप इस प्रकार है
$\tan ^{-1} \frac{63}{16}$ = x + y $ \Rightarrow $ $\tan ^{-1} \frac{63}{16}$ = $\tan ^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$ + $\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) $
$\therefore$ दायाँ पक्ष = $\tan ^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$ + $\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ = $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{5}{12}+\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}\right) $ [ $\because \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y$$=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)$]
= $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{15+48}{12 \times 3}}{\frac{12 \times 3-20}{12 \times 3}}\right)$ = $\tan ^{-1}\left(\frac{63}{36} \times \frac{36}{36-20}\right)$ = $\tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)$ = बायाँ पक्ष 
$\therefore$ बायाँ पक्ष =  दायाँ पक्ष इति सिद्धम्

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