12^ 24^ 48^ 84^ = - Vidyadip

Question

$\sin 12^\circ \sin 24^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ = $

✓

Answer

a
(a) $\sin \,\,{12^o}\,\,\sin \,\,{24^o}\,\,\sin \,\,{48^o}\,\,\sin \,\,{84^o}$

$ = \frac{1}{4}\,(2\,\,\sin \,\,{12^o}\,\sin \,\,{48^o})\,\,(2\,\,\sin \,\,{24^o}\,\,\sin \,\,{84^o})$

$ = \frac{1}{2}(\cos \,\,{36^o} - \cos \,\,{60^o})\,\,(\cos \,\,{60^o} - \cos \,\,{108^o})$

$ = \frac{1}{4}\,\left( {\cos \,\,{{36}^o} - \frac{1}{2}} \right)\,\,\left( {\frac{1}{2} + \sin \,\,{{18}^o}} \right)$

$ = \frac{1}{4}\left\{ {\frac{1}{4}(\sqrt 5 + 1) - \frac{1}{2}} \right\}\,\left\{ {\frac{1}{2} + \frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)} \right\} = \frac{1}{{16}}$

एवं $\cos \,\,{20^o}\,\cos \,\,{40^o}\,\,\cos \,\,60\,\,\cos \,\,{80^o}$

$ = \frac{1}{2}[\cos \,({60^o} - {20^o})\,\cos \,\,{20^o}\,\cos \,({60^o} + {20^o})]$

$ = \frac{1}{2}\,\left[ {\frac{1}{4}\cos \,\,3\,\,({{20}^o})} \right] = \frac{1}{8}\cos \,\,{60^o} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{{16}}$.

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