Question
${\sin ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\frac{{5\pi }}{8} + {\sin ^2}\frac{{7\pi }}{8} = $

Answer

d
(d) ${\sin ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\frac{{5\pi }}{8} + {\sin ^2}\frac{{7\pi }}{8}$

$ = {\sin ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8}$

$ = 2\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{8} + {{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{8}} \right) = 2 \times 1 = 2$.

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माना एक त्रिभुज की शीर्षों $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ तथा $\mathrm{C}$ के स्थिति सदिश क्रमशः $2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \quad \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ तथा $2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$ हैं। माना इस त्रिभुज के लंब केन्द्र से भुजाओं $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{CA}$ पर डाले गए लम्बों की लंबाईयाँ क्रमशः $l_1, l_2$ तथा $l_3$ हैं, तो $l_1^2+l_2^2+l_3^2$ बराबर है:
$\left(1+x^{ n }+x^{253}\right)^{10}$, ( जहाँ $n \leq 22$ कोई धन पूर्णांक हैं) के प्रसार में $x^{1012}$ का गुणांक हैं
$m$ के पूर्णांक मानों की संख्या, जिसके लिए रेखाओं $3x + 4y = 9$ तथा $y = mx + 1$ के प्रतिच्छेद बिन्दु का $x$-निर्देशांक भी एक पूर्णांक हो, है
माना कि प्रत्येक पूर्णांक $n$ के लिये, $a_n$ और $b_n$ वास्तविक संख्यायें हैं। फलन $f: \operatorname{IR} \rightarrow \operatorname{IR}$ निम्न प्रकार से परिभाषित है : $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a_n+\sin \pi x, & \text { for } x \in[2 n, 2 n+1] \\ b_n+\cos \pi x, & \text { for } x \in(2 n-1,2 n)\end{array}\right.$, प्रत्येक पूर्णांक $n$ के लिये।

यदि $f$ सतत (continuous) है, तब प्रत्येक $n$ के लिये, निम्न में से कौन कथन सही है/हैं ?

$(A)$ $a_{n-1}-b_{n-1}=0$ $(B)$ $a_n-b_n=1$ $(C)$ $a_n-b_{n+1}=1$ $(D)$ $a_{n-1}-b_n=-1$

माना रेखाओं $\mathrm{L}: \frac{\mathrm{x}-5}{-2}=\frac{\mathrm{y}-\lambda}{0}=\frac{\mathrm{z}+\lambda}{1}, \lambda \geq 0$ तथा $\mathrm{L}_1: \mathrm{x}+1=\mathrm{y}-1=4-\mathrm{z}$ के बीच न्यूनतम दूरी $2 \sqrt{6}$ है। यदि $(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखा $L$ पर है, तो निम्न में से कौन सा संभव नहीं है?
उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र मूलबिन्दु है तथा जो बिन्दुओं $(-3, 1)$ तथा $(2, -2)$ से गुजरता है, है
यदि ${D_r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{r - 1}}}&{{{2.3}^{r - 1}}}&{{{4.5}^{r - 1}}}\\x&y&z\\{{2^n} - 1}&{{3^n} - 1}&{{5^n} - 1}\end{array}} \right|$, तो $\sum\limits_{r = 1}^n {{D_r}} $ का मान है
परवलय ${y^2} = 4x$ के नाभिलम्ब के सिरों पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु है
फलन $f(x) = \log |\log x|$ का डोमेन (प्रान्त) है
श्रेणी $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + .......$ का $20$ वाँ पद होगा