Question
$\sin {20^o}\,\sin {40^o}\,\sin {60^o}\,\sin {80^o} = $
$ = \frac{1}{2}\sin 20^\circ \sin 60^\circ \,(2\sin {40^o}\sin 80^\circ )$
$ = \frac{1}{2}\sin 20^\circ \sin 60^\circ (\cos 40^\circ - \cos 120^\circ )$
$ = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 20^\circ \left( {1 - 2{{\sin }^2}20^\circ + \frac{1}{2}} \right)$
$ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sin 20^\circ \left( {\frac{3}{2} - 2{{\sin }^2}20^\circ } \right)$
$ = \frac{{\sqrt 3 }}{8}(3\sin 20^\circ - 4{\sin ^3}20^\circ )$
$ = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{8}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{{16}}$.
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$L _1: x \sqrt{2}+ y -1=0 \text { और } L _2: x \sqrt{2}- y +1=0$
पर विचार कीजिए। किसी नियत अचर (fixed constant) $\lambda$ के लिए, मान लीजिए कि $C$ एक बिन्दु $P$ का ऐसा बिन्दुपथ (locus) है कि $P$ से $L _1$ की दूरी और $P$ से $L _2$ की दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ है। रेखा $y =2 x +1, C$ को दो बिन्दुओं $R$ और $S$ पर मिलती है, जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है।
मान लीजिए कि RS का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector), $C$ को दो भिन्न बिन्दुओं R' और $S ^{\prime}$ पर मिलता है। मान लीजिए कि $R ^{\prime}$ और $S ^{\prime}$ के बीच की दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान $D$ है।
($1$) $\lambda^2$ का मान. . . . . है।
($2$) $D$ का मान. . . . . है।