समाकलन का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
$\int_{0}^{\frac\pi 2} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi d \phi$
$\int_{0}^{\frac\pi 2} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi d \phi$
Exercise-7.10-2
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$\int_{0}^{\frac\pi 2} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi d \phi$ $=\int_{0}^{\frac\pi 2} \sqrt{\sin \phi}\left(1-\sin ^{2} \phi\right)^{2} \cos \phi d \phi$
sin $\phi$ = t रखने पर,
$\Rightarrow \cos \phi=\frac{d t}{d \phi} \Rightarrow d \phi=\frac{d t}{\cos \phi} $
सीमा के लिए, जब $\phi$ = 0 $\Rightarrow$ t = 1 और जब $\phi$ $= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$
$\therefore I=\int_{0}^{1} \sqrt{t}\left(1-t^{2}\right)^{2} d t$ $=\int_{0}^{1} \sqrt{t}\left(t^{4}+1-2 t^{2}\right) d t $
$=\int_{0}^{1}\left(t^{\frac9 2}+t^{\frac1 2}-2 t^{\frac5 2}\right) d t$ $=\left[\frac{t^{\frac{9}{2}+1}}{\left(\frac{9}{2}+1\right)}+\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-2\left(\frac{t^{\frac{5}{2}}+1}{\frac{5}{2}+1}\right)\right]_{0}^{1}$
$=\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{3}-\frac{4}{7}\right)-0$ $=\frac{42+154-132}{11 \times 3 \times 7}=\frac{64}{231}$
sin $\phi$ = t रखने पर,
$\Rightarrow \cos \phi=\frac{d t}{d \phi} \Rightarrow d \phi=\frac{d t}{\cos \phi} $
सीमा के लिए, जब $\phi$ = 0 $\Rightarrow$ t = 1 और जब $\phi$ $= \frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$
$\therefore I=\int_{0}^{1} \sqrt{t}\left(1-t^{2}\right)^{2} d t$ $=\int_{0}^{1} \sqrt{t}\left(t^{4}+1-2 t^{2}\right) d t $
$=\int_{0}^{1}\left(t^{\frac9 2}+t^{\frac1 2}-2 t^{\frac5 2}\right) d t$ $=\left[\frac{t^{\frac{9}{2}+1}}{\left(\frac{9}{2}+1\right)}+\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-2\left(\frac{t^{\frac{5}{2}}+1}{\frac{5}{2}+1}\right)\right]_{0}^{1}$
$=\left(\frac{2}{11}+\frac{2}{3}-\frac{4}{7}\right)-0$ $=\frac{42+154-132}{11 \times 3 \times 7}=\frac{64}{231}$
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