Question
$\sqrt 3 \,{\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{20}}$ के विस्तार में महत्तम पद है
${T_{r + 1}} = \sqrt 3 .{\,^{20}}{C_r}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^r}$तथा ${T_r} = \sqrt 3 .\,{\,^{20}}{C_{r - 1}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{r - 1}}$
अब $\frac{{{T_{r + 1}}}}{{{T_r}}} = \frac{{20 - r + 1}}{r}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$
$\therefore \,\,\,\,{T_{r + 1}} \ge {T_r} \Rightarrow 20 - r + 1 \ge \sqrt 3 r$
$ \Rightarrow 21 \ge r(\sqrt 3 + 1)\,\, \Rightarrow r \le \frac{{21}}{{\sqrt 3 + 1}}$$ \Rightarrow \,\,r \le 7.686 \Rightarrow r = 7$
अत: महत्तम पद
${T_8} = \sqrt 3 {\,^{20}}{C_7}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^7} = \frac{{25840}}{9}$
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($1$) माना कि $E_1 E_2$ और $F_1 F_2$ वृत्त $S$ की ऐसी जीवायें (chords) हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमश: $x$-अक्ष (axis) व $y$-अक्ष के समान्तर (parallel) हैं। माना कि $G_1 G_2, S$ की वह जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसकी प्रवणता (slope) -$1$ है। माना कि $E_1$ और $E_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ (tangents) $E_3$ पर मिलती हैं, $F_1$ और $F_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $F_3$ पर मिलती हैं, तथा $G_1$ और $G_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $G_3$ पर मिलती हैं। तब वह वक्र (curve) जिस पर बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ स्थित हैं, है
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $x y=4$
($2$) माना कि $P$ वृत्त $S$ पर स्थित एक ऐसा बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक (coordinates) धनात्मक (positive) हैं। माना कि वृत्त $S$ के बिंदु $P$ पर स्पर्शी (tangent) निर्देशांक अक्षों (coordinate axes) को बिन्दुओं $M$ और $N$ पर प्रतिच्छेद (intersects) करती है। तब वह वक्र (curve) जिस पर रेखाखंड (line segement) $M N$ का मध्य बिंदु (mid-point) अनिवार्य रूप से स्थित है, है
$(A)$ $(x+y)^2=3 x y$ $(B)$ $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=2^{4 / 3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2 x y$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2 y^2$
इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$