_ r = 1 ^8 ( 2r 9 + i 2r 9 ) = . .. - Vidyadip

MCQ

$\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} $= . ..

A
$ - 1$
B
$1$
C
$i$
✓
$ - i$

✓

Answer

Correct option: D.

$ - i$

d
(d) We have
$\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^8 {i\,\,\left( {\cos \frac{{2r\pi }}{9} - i\sin \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} $
$ = i\sum\limits_{r = 1}^8 {{e^{ - i\frac{{2r\pi }}{9}}}} = i\sum\limits_{r = 1}^8 {{\alpha ^r},} $ when $\alpha = {e^{ - (2\pi i/9)}}$
$ = i\alpha \frac{{(1 - {\alpha ^8})}}{{(1 - \alpha )}}$$ = i\frac{{(\alpha - {\alpha ^9})}}{{1 - \alpha }} = i\left( {\frac{{\alpha - 1}}{{1 - \alpha }}} \right) = - i$
$({\alpha ^9} = {e^{ - i2\pi }} = \cos 2\pi - i\sin 2\pi = 1$)

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 4.1 complex nubers→4.1 complex nubers — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x-b \log _e(1+x)+c x e^{-x}}{x^2 \sin x}=1$, તો $16\left(a^2+b^2+c^2\right)$ ........................

જો $cosec^2\theta $ = $\frac{4xy}{(x +y)^2}$ હોય તો

ઉગમબિંદુ માંથી વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-8 x-4 y+16=0$ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકો વર્તુળને બિંદુઓ $A$ અને $B $ માં સ્પર્શે છે તો $(A B)^{2}$ મેળવો.

સમીકરણ $x^2 + 2bx + c$ નું મૂલ્ય ધન ક્યારે મળે ?

જો દ્વિઘાત સમીકરણો $3x^2 + ax + 1 = 0$ અને $2x^2 + bx + 1 = 0$ સમાન બીજ ધરાવે, તો પદાવલિ $5ab - 2a^2 - 3b^2$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય ?

જે અતિવલયનો નાભિલંબ $8$ હોય અને અનુબદ્ધ અક્ષ નાભિઓ વચ્ચેનાં અંતર કરતાં અડધી હોય, તેવા અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.

ધારોકે રેખા $2 x+3 y-\mathrm{k}=0, \mathrm{k}>0$ એ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ ને અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. જો રેખા ખંડ $A B$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા બનતા વર્તુળ સમીકરણ $x^2+y^2-3 x-2 y=0$ હોય અને ઉપવલય $x^2+9 y^2=\mathrm{k}^2$ ના નાભિલંબ ની લંબાઈ $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ હોય, જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજય છે, તો $2 m+n=$ ...........

જો ${\left( {2 + \frac{x}{3}} \right)^{55}}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ની ઘાતક અનુક્રમે વધે છે અને બે ક્રમિક પદમાં આવેલ $x$ની ઘાતાંકના સહગુણક સરખા હોય તો તે પદો મેળવો.

$t \in R$ માટે જો $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોય તો $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \,\frac{{\left( {1 - \left| x \right| + \sin \left| {1 + x} \right|} \right)\,\sin \,\left( {\frac{\pi }{2}\,\left[ {1 - x} \right]} \right)}}{{\left| {1 - x} \right|\left| {1 - x} \right|}}$ =

જો ${{\left( 1+x \right)}^{20}}$ ના વિસ્તરણમાં $r$ મા પદ અને $\left( r+4 \right)$ મા પદના સહગુણકો સમાન હોય તો $r=........$