x के अवकलज का परिकलन कीजिए। - Vidyadip

Question

$\tan x$ के अवकलज का परिकलन कीजिए।

✓

Answer

मान लीजिए $f(x) = \tan x,$ तब
$\frac{d f(x)}{d x} =\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\tan (x+h)-\tan (x)}{h}$
$= \lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)}-\frac{\sin x}{\cos x}\right]$
$= \lim _\limits{h \rightarrow 0}\left[\frac{\sin (x+h) \cos x-\cos (x+h) \sin x}{h \cos (x+h) \cos x}\right] $
$= \lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h-x)}{h \cos (x+h) \cos x} (\sin (A + B)$ के सूत्र का प्रयोग करके$)$
$= \lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x+h) \cos x}$
$= 1 \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} = \sec^2 x$

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