દ્રિપદી પ્રમેય — ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ — Question

$n = 1$ લેતાં, $3^3 + 2^0 = 28$ જે $7$ અને $2$ ના ગુણકમાં છે.

$n = 2$ લેતાં, $3^5 + 2^1 = 245 = 7 \times 35 $ જે $7$ ના ગુણકમાં છે. પણ $2$ ના ગુણકમાં નથી.

$\therefore p(n) : 3^{2n + 1} + 2^{n - 1} $ એ $\forall \ n \in N, 7$ ના ગુણકમાં છે. તેવું અનુમાન કરી શકાય.

ધારો કે $p(k) : 3^{2n + 1} + 2^{k - 1}$ એ $7$ ના ગુણકમાં છે. $(k \in N)$ સત્ય છે.

$\therefore 3^{2k + 1} + 2^{k - 1} = 7 m \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m \in Z \ \ \ \ \ \ \ \ \ ..........(1)$

$n = k + 1$ માટે $3^{2k + 3} + 2^k = 9 \times 3^{2k + 1} + 2^k$

$= 9 (7m - 2^{k - 1})+ 2^k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\because 1)$

$= 63 m - 9 \times 2^{k - 1} + 2^k$

$= 63 m - 2^{k - 1} (9 - 2)$

$= 7 (9m - 2^{k - 1})$ એ $7$ ના ગુણકમાં છે.

$p(k)$ સત્ય છે. $\Rightarrow p(k + 1)$ સત્ય છે.

$p(2)$ પરથી $(A), (D)$ સત્ય નથી. $p(1)$ પરથી $(B)$ સત્ય નથી.

$\therefore$ વિકલ્પ $(C)$ સત્ય છે.

$\therefore$ ગણિતીય અનુમાનના સિધાંત પરથી $p(n) \ \forall n \in N$ સત્ય છે.