$x^{y }+ y^{x }= 1$ में प्रदत्त फलन के लिए $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.5-12
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दिया है, $x^{y }+ y^{x }= 1$
मान लीजिए $u = x^y$ तथा $v = y^x$
$\therefore u + v = 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ \frac{d u}{d x} + \frac{d v}{d x} = 0 ...(i)$
अब, $u = x^y$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर, $\log u = y \log x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d x} = y \times \frac{1}{x} + \log x \frac{d y}{d x} ($शृंखला नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{d u}{d x} = u (\frac{y}{x} + \log x \frac{d y}{d x})$
$\Rightarrow \frac{d u}{d x} = x^y (\frac{y}{x} + \log x \frac{d y}{d x}) $
$ \Rightarrow \frac{d u}{d x} = yx^{y -1 }+ x^y \cdot \log x \frac{d y}{d x}$
अब, $v = y^x$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
$\Rightarrow \log v = x \log y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{1}{v} \frac{d v}{d x} $
$= x \times \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} + \log y ($शृंखला नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{d v}{d x} $
$= v(\frac{x}{y} \frac{d y}{d x} + \log y) $
$\Rightarrow \frac{d v}{d x} $
$= yx (\frac{x}{y}\frac{d y}{d x} + \log y)$
$\Rightarrow \frac{d v}{d x} $
$= xy^{x - 10y }+ y^{x }\log y$
$\frac{d u}{d x}$ तथा $\frac{d v}{d x}$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$yx^{y -1 }+ x^y \cdot \log x \frac{d y}{d x} + xy^{x - 1} \frac{d y}{d x} + y^x \log y = 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} (x^{y }\log x + xy^{x - 1}) = - y^x \log y - y x^{y-1} $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} $
$= - \frac{y^{x} \log y+y x^{y-1}}{x^{y} \log x+x y^{x-1}}$
मान लीजिए $u = x^y$ तथा $v = y^x$
$\therefore u + v = 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ \frac{d u}{d x} + \frac{d v}{d x} = 0 ...(i)$
अब, $u = x^y$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर, $\log u = y \log x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d x} = y \times \frac{1}{x} + \log x \frac{d y}{d x} ($शृंखला नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{d u}{d x} = u (\frac{y}{x} + \log x \frac{d y}{d x})$
$\Rightarrow \frac{d u}{d x} = x^y (\frac{y}{x} + \log x \frac{d y}{d x}) $
$ \Rightarrow \frac{d u}{d x} = yx^{y -1 }+ x^y \cdot \log x \frac{d y}{d x}$
अब, $v = y^x$
दोनों तरफ का लघुगणक लेने पर,
$\Rightarrow \log v = x \log y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\Rightarrow \frac{1}{v} \frac{d v}{d x} $
$= x \times \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} + \log y ($शृंखला नियम से$)$
$\Rightarrow \frac{d v}{d x} $
$= v(\frac{x}{y} \frac{d y}{d x} + \log y) $
$\Rightarrow \frac{d v}{d x} $
$= yx (\frac{x}{y}\frac{d y}{d x} + \log y)$
$\Rightarrow \frac{d v}{d x} $
$= xy^{x - 10y }+ y^{x }\log y$
$\frac{d u}{d x}$ तथा $\frac{d v}{d x}$ का मान समी $(i)$ में रखने पर,
$yx^{y -1 }+ x^y \cdot \log x \frac{d y}{d x} + xy^{x - 1} \frac{d y}{d x} + y^x \log y = 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} (x^{y }\log x + xy^{x - 1}) = - y^x \log y - y x^{y-1} $
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} $
$= - \frac{y^{x} \log y+y x^{y-1}}{x^{y} \log x+x y^{x-1}}$
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