यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिक = | lll b+c & c+a & … - Vidyadip

Question

यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिक
$ \Delta$ = $ \left|\begin{array}{lll} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right|$= 0
हो तो दर्शाइए कि या तो a + b + c = 0 या a = b = c है।

✓

Answer

दिया है, $\Delta$ =$ \left|\begin{array}{lll}b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a\end{array}\right|$= $\left|\begin{array}{lll}2(a+b+c) & c+a & a+b \\ 2(a+b+c) & a+b & b+c \\ 2(a+b+c) & b+c & c+a\end{array}\right|$ $\left(C_1 \rightarrow C_1+C_2+C_3\right.$ से $)$
= 2(a + b + c)$\left|\begin{array}{lll}1 & c+a & a+b \\ 1 & a+b & b+c \\ 1 & b+c & c+a\end{array}\right| $ [$C_1$से 2(a + b + c) उभयनिष्ठ लेने पर]
= 2(a + b + c) $\left|\begin{array}{ccc} 1 & c+a & a+b \\ 0 & b-c & c-a \\ 0 & b-a & c-b \end{array}\right| $$(R_2 \rightarrow R_2-R_1, R_2 \rightarrow R_3-R_1$ से
$C _1$ के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$\Delta=2(a+b+c)[(b-c)(c-b)-(b-a)(c-a)]$
$=2(a+b+c)\left[b c-c^2-b^2+b c-b c+a c+a b-a^2\right]$
$=2(a+b+c)\left(a b+b c+c a-a^2-b^2-c^2\right)$
दिया है, $\Delta=0$
$\therefore(a+b+c) \times 2\left(a b+b c+c a-a^2-b^2-c^2\right)=0$
$\Rightarrow$ या तो $(a+b+c)=0$ या $2\left(a b+b c+c a-a^2-b^2-c^2\right)=0$
यदि $2\left(a b+b c+c a-a^2-b^2-c^2\right)=0$
$\Rightarrow-\left(2 a ^2+2 b^2+2 c ^2-2 ab -2 bc -2 ca \right)=0[(-)$ चिन्ह उभयनिष्ठ लेने पर]
$\Rightarrow 2 a^2+2 b^2+2 c^2-2 a b-2 b c-2 c a=0$
$\Rightarrow\left(a^2+b^2-2 a b\right)+\left(b^2+c^2-2 b c\right)+\left(c^2+a^2-2 c a\right)=0$
$\Rightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\left[\because(x-y)^2=x^2+y^2-2 x y\right]$
$\Rightarrow(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0[\because(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2$ धनात्मक हैं
$\Rightarrow(a-b)=(b-c)=(c-a)=0$
$\Rightarrow a=b=c$
अतः यदि $\Delta=0$ तो $a+b+c=0$ या $a=b=c$

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