Question
यदि A = $ \left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right] $ और B = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right] $, तो AB तथा BA ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि AB $\neq $ BA
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Answer
क्योंकि कि A एक 2$ \times$3 आव्यूह है और B एक 3 $ \times$ 2 आव्यूह है, इसलिए AB तथा BA दोनों ही परिभाषित हैं तथा क्रमशः 2 $ \times$ 2 तथा 3 $ \times$ 3, कोटियों के आव्यूह हैं। नोट कीजिए कि
AB = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{cc} 2-8+6 & 3-10+3 \\ -8+8+10 & -12+10+5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{array}\right]$
और BA = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 2-12 & -4+6 & 6+15 \\ 4-20 & -8+10 & 12+25 \\ 2-4 & -4+2 & 6+5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{array}\right]$
स्पष्टतया AB $ \neq$ BA.
AB = $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{cc} 2-8+6 & 3-10+3 \\ -8+8+10 & -12+10+5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{array}\right]$
और BA = $\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{array}\right]$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 2-12 & -4+6 & 6+15 \\ 4-20 & -8+10 & 12+25 \\ 2-4 & -4+2 & 6+5 \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{array}\right]$
स्पष्टतया AB $ \neq$ BA.
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